Tính chất đường phân giác của tam giác| Toán 8 chương trình mới

Trong công tác toán 8 liên kết trí thức, chân mây phát minh, cánh diều những em sẽ tiến hành học tập những kiến thức và kỹ năng về đặc điểm đàng phân giác của tam giác. Bài ghi chép sau đây tiếp tục tổ hợp kiến thức và kỹ năng những em cần thiết bắt nhập bài bác đặc điểm đàng phân giác của tam giác lớp 8. Mời những em nằm trong theo dõi dõi.

1. Tính hóa học đàng phân giác của tam giác

- Định lý: Trong một tam giác, đàng phân giác cảu một góc phân chia cạnh đối lập trở nên nhị đoạn trực tiếp tỉ lệ thành phần với nhị cạnh kề với nhị đoạn ấy.

Bạn đang xem: Tính chất đường phân giác của tam giác| Toán 8 chương trình mới

- Chứng minh lăm le lý:

Vẽ đường thẳng liền mạch qua loa B tuy vậy song với AD và rời AC bên trên điểm E như hình vẽ.

Theo fake thiết tao đem AD là đàng phân giác của $\large \widehat{BAD}$

=> $\large \widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}$

Ta đem BE // AD => $\large \widehat{A_{1}}=\widehat{B_{1}}$ ( nhị góc so sánh le trong) và $\large \widehat{A_{2}}=\widehat{E}$ (hai góc đồng vị)

=> $\large \widehat{B_{1}}=\widehat{E}$ => $\large \Delta AEB$ cân bên trên A.

=> AE = AB (1)

Áp dụng lăm le lý thales vào $\large \Delta CEB$ , tao có:

$\large \frac{DB}{DC}=\frac{AE}{AC}(2)$

Từ (1) và (2) => $\large \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}(dpcm)$

- Chú ý: Trong $\large \Delta$ ABC, nếu như D là vấn đề nằm trong đoạn BC và thỏa mãn $\large \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ thì AD là đàng phân giác của góc A.

2. Các dạng bài bác về đặc điểm đàng phân giác của tam giác

2.1 Dạng bài bác tính phỏng nhiều năm cạnh, diện tích S, chu vi

Cách làm: sát dụng đặc điểm đàng phân giác của tam giác, những tỉ lệ thành phần thức, lăm le lý thales, lăm le lý pytago để thay đổi và đo lường.

Ví dụ: Cho $\large \Delta ABC$ có AB = 5cm, CA = 6cm, BC = 7cm. AE là tia phân giác của $\large \widehat{A}$ . Hãy tính đoạn EC, EB.

Lời giải: sát dụng đặc điểm của đàng phân giác trong $\large \Delta ABC$ và đặc điểm của sản phẩm tỉ số đều bằng nhau tao có:

$\large \frac{EB}{BA}=\frac{EC}{CA}=\frac{EB+EC}{BA+CA}=\frac{BC}{BA+CA}$

$\large \Rightarrow \frac{EB}{5}=\frac{EC}{6}=\frac{7}{11}\Rightarrow EB=\frac{35}{11}(cm);EC=\frac{42}{11}(cm)$

2.2 Dạng bài bác tính tỉ số phỏng nhiều năm, tỉ số diện tích

- Phươn pháp giải: sát dụng đặc điểm đàng phân giác nhập tam giác và lập tỉ lệ thành phần thức trong số những đoạn trực tiếp. sát dụng kỹ năng đại số hóa hình học tập, công thức và thành phẩm chiếm được kể từ công thức tính diện tích S tam giác.

- Ví dụ: Cho $\large \Delta ABC$ và những đàng phân giác BD và CE. Biết $\large \frac{AD}{BC}=\frac{2}{3}; \frac{EA}{EB}=\frac{5}{6}$

Hãy tính những cạnh của $\large \Delta ABC$ , biết $\large \Delta ABC$ có chi vi là 45cm.

Lời giải:

Áp dụng đặc điểm của những đàng phân giác BD và CE vào $\large \Delta ABC$ ta có:

$\large \frac{AB}{BC}=\frac{AD}{BC}=\frac{2}{3}=\frac{4}{6}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AB=4t & \\ BC=6t& \end{matrix}\right.(t > 0)$

$\large \frac{AC}{BC}=\frac{AE}{EB}=\frac{5}{6}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AC=5t & \\ BC=6t& \end{matrix}\right.$

Lại đem chu vi của $\large \Delta ABC$ là 45 centimet, tao có:

AB + BC + CA = 45 = 4t + 6t + 5t = 15t

=> t = 3

Vậy AB = 12cm; BC = 18cm ; CA = 15cm.

>> Xem thêm: Tổng phù hợp kiến thức và kỹ năng toán 8 cụ thể SGK mới

3. Bài tập luyện đặc điểm đàng phân giác của tam giác toán 8 công tác mới

3.1 Bài tập luyện đặc điểm đàng phân giác của tam giác toán 8 liên kết tri thức

Bài 4.10 trang 86 toán 8/1 liên kết tri thức

Trong Hình 4.24 có $\large \widehat{NPH}=\widehat{MPH}$ nên PH là tia phân giác của $\large \widehat{NPM}$

Áp dụng đặc điểm đàng phân giác của tam giác, tao có:

$\large \frac{MP}{NP}=\frac{MH}{NH}\Leftrightarrow \frac{5}{x}=\frac{3}{5,1}$

$\large \Rightarrow x=\frac{5.5,1}{3}=8,5$

Bài 4.11 trang 86 toán 8/1 liên kết tri thức

Theo đề bài bác, đàng phân giác nhập của góc A rời BC bên trên D nên AD là tia phân giác của $\large \widehat{BAC}$

Áp dụng đặc điểm đàng phân giác của tam giác, tao có:

$\large \frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}\Leftrightarrow \frac{4,5}{7}=\frac{DB}{DC} \Leftrightarrow \frac{DB}{4,5}=\frac{DC}{7}$

Áp dụng đặc điểm sản phẩm tỉ số đều bằng nhau, tao có:

$\large \frac{DB}{4,5}=\frac{DC}{7}\Leftrightarrow \frac{DB+DC}{4,5+7}=\frac{BC}{11,5}=\frac{3,5}{11,5}=\frac{7}{23}$

$\large \Rightarrow DC=\frac{7.7}{23}=\frac{49}{23}\approx 2,1(m)$

Bài 4.12 trang 86 toán 8/1 liên kết tri thức

Theo đề bài bác, ABCD là hình vuông vắn nên AB = AD và AC là tia phân giác của $\large \widehat{BAD}$ .

Vì M là trung điểm của AB

$\large \Rightarrow AM=BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AD\Rightarrow \frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}$

Vì AC là tia phân giác của $\large \widehat{BAD}$ hoặc AI là tia phân giác của $\large \widehat{MAD}$ , vận dụng đặc điểm đàng phân giác nhập $\large \Delta$ ADM, tao có:

$\large \frac{AM}{AD}=\frac{IM}{ID}=\frac{1}{2}\Rightarrow ID=2IM$

Ta đem I là vấn đề bắt gặp nhau nên Mai theo dõi quãng đàng XiaoMi MI còn Dung theo dõi quãng đàng DI.

Ta đem S = v.t. Mà quãng đàng Dung chuồn vội vàng gấp đôi quãng đàng Mai chuồn, véc tơ vận tốc tức thời của 2 các bạn như nhau nên thời hạn Dung chuồn đàng tiếp tục vội vàng gấp đôi thời hạn Mai chuồn đàng thì mới có thể bắt gặp nhau bên trên điểm I.

Dung bắt gặp Mai khi 7h30p nên thời hạn Mai chuồn bên trên quãng đàng XiaoMi MI là: 7h30 - 7h = 30p

Khi bại liệt thời hạn Dung chuồn là 1h => Thời gian lận Dung xuất phát điểm từ nhà: 7h30 - 1h = 6h30p.

Vậy dung xuất phát điểm từ khi 6h30p nhằm bắt gặp Mai khi 7h30p bên trên điểm I.

3.2 Bài tập luyện đặc điểm đàng phân giác của tam giác toán 8 chân mây sáng sủa tạo

Bài 1 trang 56 SGK toán 8/2 chân mây sáng sủa tạo

a) Trong $\large \Delta$ ABC, tao đem AD là đàng phân giác góc A nên tao có

$\large \frac{DC}{DB}=\frac{AC}{AB}\Leftrightarrow \frac{x}{2,4}=\frac{5}{3}$

$\large \Rightarrow x=\frac{5.2,4}{3}=4$

b) Trong $\large \Delta$ EFG, tao đem EH là đàng phân giác góc E nên tao có

$\large \frac{HG}{HF}=\frac{EG}{EF}\Leftrightarrow \frac{x}{20-x}=\frac{18}{12}$

$\large \Rightarrow 12x=18(20-x)\Rightarrow x=\frac{18.20}{30}=12$

c) Trong t $\large \Delta$ PQR, tao đem RS là đàng phân giác góc R nên tao có

$\large \frac{SP}{SQ}=\frac{PR}{QR}\Leftrightarrow \frac{5}{6}=\frac{10}{x}$

$\large \Rightarrow x=\frac{6.10}{5}=12$

Bài 2 trang 56 SGK toán 8/2 chân mây sáng sủa tạo

a) $\large \Delta$ ABC đem AD là đàng phân giác

$\large \Rightarrow \frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}$

Áp dụng đặc điểm sản phẩm tỉ số đều bằng nhau, tao có:

$\large \frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{DB+DC}{AB+AC}=\frac{BC}{AB+AC}$

$\large \Rightarrow \frac{DB}{8}=\frac{DC}{6}=\frac{10}{8+6}$

$\large \Rightarrow DB=\frac{40}{7}cm;BC=\frac{30}{7}cm$

b) Vẽ AH ⊥ BC tại H

$\large \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AH.DB}{\frac{1}{2}AH.DC}= \frac{DB}{DC}=\frac{\frac{40}{7}}{\frac{30}{7}}=\frac{4}{3}$

Bài 3 trang 56 SGK toán 8/2 chân mây sáng sủa tạo

a) Trong $\large \Delta$ ABC, tao có: AD là tia phân giác của $\large \widehat{BAC}$

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$

Lại có AB = 15 cm; AC = trăng tròn centimet.

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{15}{20}$

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DB+DC}=\frac{15}{15+20}\Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{15}{35}$

$\large \Rightarrow DB=\frac{15}{35}.25=\frac{75}{7}cm$

$\large \Rightarrow DC=BC-DB=25-\frac{75}{7}=\frac{100}{7}cm$

Xét $\large \Delta$ ABC đem DE // AB, theo dõi hệ ngược lăm le lí Thalès, tao có:

$\large \frac{DE}{AB}=\frac{CD}{BC}\Rightarrow \frac{DE}{15}=\frac{\frac{100}{7}}{25}$

$\large \Rightarrow DE=\frac{60}{7}$

b) Xét $\large \Delta$ ABC tao có: AB = 15 centimet, AC = trăng tròn centimet, BC = 25 centimet.

Nên BC² = AB² + AC² => $\large \Delta$ ABC vuông bên trên A.

Khi bại liệt, tao có:

$\large S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.AB=\frac{1}{2}.20.15=150cm^{2}$

Vậy diện tích $\large \Delta$ ABC là 150 cm².

c) Kẻ AH ⊥ BC ta có:

$\large \frac{A_{ADB}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}AH.BD}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{DB}{DC}=\frac{\frac{40}{7}}{\frac{30}{7}}=\frac{4}{3}$

$\large \Rightarrow S_{ADB}=\frac{3}{7}.S_{ABC}=\frac{3}{7}.150=\frac{450}{7}cm$

$\large \frac{A_{DCE}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}CE.DE}{\frac{1}{2}AC.AB}=\left ( \frac{DE}{AB} \right )^{2}=\left ( \frac{\frac{60}{7}}{25} \right )^{2}=\frac{144}{1225}$

$\large \Rightarrow S_{DCE}=\frac{144}{1225}.S_{ABC}=\frac{144}{1225}.150=\frac{864}{49}cm^{2}$

$\large \Rightarrow S_{ADE}=S_{ABC}-S_{ADB}-S_{DCE}$

$\large =150-\frac{450}{7}-\frac{864}{49}=\frac{3336}{49}cm^{2}$

Vậy $\large S_{ADB}=\frac{450}{7}cm^{2};S_{DCE}=\frac{864}{49}cm^{2};S_{ADE}=\frac{3336}{49}cm^{2}$

Xem thêm: Sinh Năm 2016 Mệnh Gì, Hợp Màu Gì, Hướng Nào Tốt?

Bài 4 trang 56 SGK toán 8/2 chân mây sáng sủa tạo

a) $\large \Delta$ ABC vuông bên trên A, vận dụng lăm le lí Pythagore, tao có:

BC² = AC² + AB² => BC = 5 cm

AD là tia phân giác góc A nên:

$\large \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{DB}{5-DB}=\frac{3}{4}$

$\large \Rightarrow 4DB=15-3DB\Rightarrow DB=\frac{15}{7}cm$

Do đó: $\large DC=BC-DB=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}cm$

Vậy BC = 5cm ; DB = 15/7 cm; DC = 20/7 centimet.

b. Ta có: $\large S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}AH.BC$

$\large \Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{3.4}{5}=\frac{12}{5}cm$

Tam giác ABH vuông bên trên H nên:

$\large HB=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{3^{2}-\left ( \frac{12}{5} \right )^{2}}=\frac{9}{5}cm$

Ta có: HD = DB - HB = 15/7 - 9/5 = 12/35 centimet.

$\large AD=\sqrt{HD^{2}+AH^{2}}=\sqrt{\left ( \frac{12}{35} \right )^{2}+\left ( \frac{12}{5} \right )^{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{7}cm$

Vậy AH = 12/5 cm; HD = 12/35 cm; $\large AD=\frac{12\sqrt{2}}{7}cm$

Bài 5 trang 56 SGK toán 8/2 chân mây sáng sủa tạo

• Xét $\large \Delta$ ABM đem MD là đàng phân giác $\large \widehat{AMB}$

$\large \Rightarrow \frac{DA}{DB}=\frac{MA}{MB}$

• Xét $\large \Delta$ ACM đem ME là đàng phân giác $\large \widehat{AMC}$

$\large \Rightarrow \frac{EA}{EB}=\frac{MA}{MC}$

Mà MB = MC, vì thế đó: $\large \Rightarrow \frac{DA}{DB}=\frac{EA}{EC}$ , theo dõi lăm le lí Thalès hòn đảo tao có: DE // BC.

3.3 Bài tập luyện đặc điểm đàng phân giác của tam giác toán 8 cánh diều

Bài 1 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Áp dụng đặc điểm đàng phân giác mang lại $\large \Delta$ ABC, tao có:

AD là đàng phân giác của góc BAC

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{DB}{BC-DB}=\frac{AB}{AC}\Leftrightarrow \frac{BD}{5-BD}=\frac{4}{6}$

=> 6BD = 4(5 – BD)

<=> 6BD = trăng tròn – 4BD <=> 6BD + 4BD = 20

<=> 10BD = 20 <=> BD = 2.

BE là đàng phân giác của góc ABC

$\large \Rightarrow \frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}\Rightarrow \frac{EC}{AC-EC}=\frac{BC}{BA}\Leftrightarrow \frac{CE}{6-CE}=\frac{5}{4}$

=> 4CE = 5(6 – CE)

<=> 4CE = 30 – 5CE <=> 4CE + 5CE = 30

<=> 9CE = 30 <=> CE = 30/9 = 10/3

CF là đàng phân giác của góc ACB

$\large \Rightarrow \frac{FA}{FB}=\frac{CA}{CB}\Rightarrow \frac{FA}{AB-FA}=\frac{CA}{CB}\Leftrightarrow \frac{AF}{4-AF}=\frac{6}{5}$

=> 5AF = 6(4 – AF) <=> 5AF = 24 – 6AF

<=> 5AF + 6AF = 24 <=> 11AF = 24

<=> AF=24/11

Vậy BD = 2; CE=10/3; AF = 24/11.

Bài 2 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Theo đặc điểm đàng phân giác nhập tam giác, tao có:

BE là đàng phân giác của góc ABC nhập $\large \Delta$ ABC

$\large \Rightarrow \frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}$

BD là đàng phân giác của góc ABM nhập $\large \Delta$ ABM

$\large \Rightarrow \frac{DM}{DA}=\frac{BM}{BA}$

Mà BC = 2BM (do AM là đàng trung tuyến của $\large \Delta$ ABC)

$\large \Rightarrow \frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}=2\frac{BM}{BA}=2\frac{DM}{DA}$

Vậy $\large \frac{EC}{EA}=2\frac{DM}{DA}$

Bài 3 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

AD là đàng phân giác của góc BAC nhập $\large \Delta$ ABC

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$

AE là đàng phân giác của góc BAG nhập $\large \Delta$ ABG

$\large \Rightarrow \frac{EB}{EG}=\frac{AB}{AG}$

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}:\frac{EB}{EG}=\frac{AB}{AC}:\frac{AB}{AG}=\frac{AB}{AC}.\frac{AG}{AB}=\frac{AG}{AC}$

Vậy $\large \frac{DB}{DC}:\frac{EB}{EG}=\frac{AG}{AC}$

Bài 4 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Do ABCD là hình thoi nên AD = AB và AC là đàng phân giác của góc BAC.

Xét $\large \Delta$ AMD đem AN là đàng phân giác góc MAD

$\large \Rightarrow \frac{ND}{NM}=\frac{AD}{AM}$

Hay $\large \Rightarrow \frac{ND}{NM}=\frac{AD}{\frac{1}{3}AB}$ (vì AB = 3AM)

$\large \Rightarrow \frac{ND}{NM}=\frac{AB}{\frac{1}{3}AB}=3$

Vậy ND = 3MN.

Bài 5 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

a) Xét tam giác ABC vuông bên trên A, theo dõi lăm le lí Pythagore, tao có:

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25 = 5²

Suy đi ra BC = 5.

Do AD là đàng phân giác của $\large \widehat{BAC}$ , theo dõi đặc điểm đàng phân giác nhập tam giác, tao có:

$\large \Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow \frac{DB}{BC-DB}=\frac{AB}{AC}\Leftrightarrow \frac{DB}{5-DB}=\frac{3}{4}$

Do bại liệt 4DB = 3(5 – DB) <=>4DB = 15 – 3DB

<=> 4DB + 3DB = 15 <=> 7DB = 15 <=> DB = 15/7

Khi đó: $\large DC=BC-DB=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}$

Vậy BC = 5; DB = 15/7 ; DC = 20/7.

b) Kẻ DH ⊥ AC (H ∈ AC).

Suy đi ra DH // AB (cùng vuông góc với AC)

Áp dụng hệ ngược của lăm le lí Thalès nhập tam giác ABC với DH // AB, tao có:

$\large \frac{DH}{BA}=\frac{CD}{CB} \Leftrightarrow \frac{DH}{3}=\frac{\frac{20}{7}}{5}$

$\large \Rightarrow DH=\frac{3\frac{20}{7}}{5}=\frac{12}{7}$

Vậy khoảng cách kể từ điểm D cho tới đường thẳng liền mạch AC là DH=12/7.

c) Xét tam giác ABC với DH // AB, tao có:

$\large \frac{AH}{AC}=\frac{BD}{BC}$ (hệ ngược của lăm le lí Thalès)

$\large \Rightarrow \frac{AH}{4}=\frac{\frac{15}{7}}{5}\Rightarrow AH=\frac{4.\frac{15}{7}}{5}=\frac{12}{7}$

Xét tam giác AHD vuông bên trên H, tao có: AD² = AH² + DH² (định lí Pythagore)

$\large \Rightarrow AD^{2}=\left ( \frac{12}{7} \right )^{2}+\left ( \frac{12}{7} \right )^{2}=\frac{288}{49}$

$\large \Rightarrow AD=\sqrt{\frac{288}{49}}=\sqrt{\frac{144.2}{49}}=\sqrt{\left ( \frac{12\sqrt{2}}{7} \right )^{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{7}$

Bài 6 trang 69 SGK Toán 8/2 cánh diều

Theo đặc điểm đàng phân giác nhập nhị tam giác ACD và BCD, tao có:

AE là đàng phân giác của góc CAD

$\large \Rightarrow \frac{EC}{ED}=\frac{AC}{AD}(1)$

BE là đàng phân giác của góc CBD

$\large \Rightarrow \frac{EC}{ED}=\frac{BC}{BD}(2)$

Từ (1) và (2)

$\large \Rightarrow \frac{AC}{AD}=\frac{BC}{BD}$

Vậy AD.BC = AC.BD.

Trên đó là những kiến thức và kỹ năng về tính hóa học đàng phân giác của tam giác lớp 8 nhập công tác toán 8 liên kết trí thức, chân mây phát minh và cánh diều. Ngoài ra VUIHOC chỉ dẫn những em cơ hội giải những bài bác tập luyện nhập sách giáo khoa. Truy cập truongduongsat.edu.vn nhằm update tăng nhiều kiến thức và kỹ năng toán 8 hữu ích nhé những em!

>> Mời các bạn tìm hiểu thêm thêm:

Xem thêm: Vẽ túi xách lớp 9, cách tạo dáng và trang trí túi xách đẹp nhất

Hình thoi và hình vuông

Định lí Thalès nhập tam giác

Đường khoảng của tam giác