Tổng Hợp Các Công Thức Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân & Bài Tập

Công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân là nội dung bài học kinh nghiệm yên cầu chúng ta học viên cần thiết ghi lưu giữ rõ ràng nhằm dễ dàng và đơn giản vận dụng nhập bài bác tập luyện. Đây cũng chính là dạng toán thông thường gặp gỡ nhập kì ganh đua ĐH, nên là Vuihoc tiếp tục mang tới cho những em học viên bài bác tổ hợp vừa đủ công thức về cấp cho số nằm trong cấp cho số nhân.

1. Cấp số nằm trong và cấp cho số nhân là gì?

1.1. Cấp số nhân

Trong công tác toán trung học phổ thông, cấp cho số nhân là 1 trong sản phẩm số thỏa mãn nhu cầu ĐK số thứ hai của sản phẩm số này đó là tích của số đứng trước với cùng một số ko thay đổi. Số ko thay đổi này được gọi là công bội của cấp cho số nhân. Từ tê liệt tớ với khái niệm về cấp cho số nhân như sau:

Bạn đang xem:

Un là cấp cho số nhân tương tự với un+1=un.q, nhập tê liệt n∈N
q là công bội và q được tính: $q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$

Số hạng tổng quát

Để rất có thể tính số hạng tổng quát tháo của cấp cho số nhân, tất cả chúng ta vận dụng công thức sau:

un =u1. Qn-1

Tính hóa học của cấp cho số nhân

Công thức cấp cho số nằm trong cấp cho số nhân và tính chất

Tổng n số hạng đầu

tổng n số hạng đầu công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân

1.2. Cấp số cộng

Cấp số nằm trong được dùng làm duy nhất sản phẩm số thỏa mãn nhu cầu số đứng sau bởi tổng của số đứng trước với một trong những ko thay đổi. Số ko thay đổi này gọi là công sai.

Dãy số cấp cho số nằm trong rất có thể là vô hạn hoặc hữu hạn. Ví dụ như: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, …

Từ tê liệt tất cả chúng ta với tấp tểnh nghĩa:

Un là cấp cho số nằm trong nếu: u_n + 1 = u_n + d

Trong tê liệt với d là công sai = u_n + 1 – u_n

Số hạng tổng quát

Chúng tớ tính được số hạng tổng quát tháo bằng phương pháp trải qua số hạng đầu và công sai với công thức như sau:

u_n = u₁ + (n – 1)d

Tính hóa học cấp cho số cộng

$u_{k} = \frac{u_{k - 1} + u_{k + 1}}{2}$

Tổng n số hạng đầu

$S_{n} = \frac{n(u_{1} + u_{n})}{2}; n\in \mathbb{N}^{*}$

$S_{n} = nu_{1} + \frac{n(n - 1)}{2}d$

$S_{n} = \frac{n[2u_{1} + (n - 1)d]}{2}$

2. Tổng hợp ý những công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân

Công thức cấp cho số nhân cấp cho số nằm trong rất giản đơn ghi lưu giữ. Đây là những công thức với tương quan cho tới độ quý hiếm đặc thù của 2 dạng sản phẩm số này.

2.1. Công thức cấp cho số cộng

Công thức cấp cho số nằm trong tổng quát:

u_n= u_m+ (n-m)d

Từ công thức tổng quát tháo bên trên tớ suy rời khỏi số hạng thứ hai trở chuồn của cấp cho số cộng bằng khoảng nằm trong của 2 số hạng ngay lập tức kề nó.

$u_{k}=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}, \forall k \geq 2$

Ví dụ: Số hạng thứ hai của cấp cho số nằm trong là từng nào biết số hạng loại 7 là 100, công sai là 2.

Giải:

Áp dụng công thức tớ với số hạng thứ hai của cấp cho số nằm trong là: u₂ = u₇ + (2 - 7)d = 100 - 5.2 = 90

Chúng tớ với 2 công thức nhằm tính tổng n số hạng đầu so với cấp cho số nằm trong. Ta có:

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n}u_{k} = \frac{n(u_{1} + u_{n})}{2}$

Ví dụ: Tính tổng đôi mươi số hạng đầu của cấp cho số nằm trong biết cấp cho số cùng theo với số hạng đầu bởi 3 và công sai bởi 2.

Giải:

Áp dụng công thức tớ có:

$S_{20} = \frac{20.(2.3 + 19.2)}{2} = 440$

2.2. Công thức cấp cho số nhân

Ta xét những cấp cho số nhân nhưng mà số hạng đầu và công bội không giống 0. Điều tê liệt với nghĩa toàn bộ những số hạng của cấp cho số nhân không giống 0. Ta với công thức cấp cho số nhân:

u_n=u_m.q^n-m

Ví dụ: thạo số hạng loại 8 của cấp cho số nhân bởi 32 và công bội bởi 2. Tính số hạng loại 5 của cấp cho số nhân

Giải:

Áp dụng công thức tớ có:

Giải bài bác tập luyện công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân

Từ công thức bên trên tớ suy rời khỏi được những công thức:

u_n = u₁.q^n-1, $\forall$ n $\geq$ 2

$u_{k}^{2} = u_{k - 1}. u_{k + 1}$ , $\forall$ k $\geq$ 2

Tổng n số hạng đầu cấp cho số nhân được xem theo gót công thức:

$S_{n}=\sum{k=1}^{n}=u_{1}.\frac{1-q^{n}}{1-q}$

Ví dụ: Cho cấp cho số nhân với số hạng đầu bởi 2. Tính tổng 11 số hạng đầu của cấp cho số nhân.

Giải: gí dụng công thức tớ có:

Giải bài bác tập luyện ví dụ công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân

>> Xem thêm: Công thức tính tổng cấp cho số nhân lùi vô hạn và bài bác tập

Đăng ký tức thì khóa đào tạo DUO 11 sẽ được những thầy cô thi công suốt thời gian ôn ganh đua trung học phổ thông đạt 9+ sớm tức thì kể từ bây giờ

3. Một số bài bác tập luyện về cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân (kèm lời nói giải chi tiết)

Bài 1: Tìm tứ số hạng liên tục của một cấp cho số nằm trong hiểu được tổng của bọn chúng bởi đôi mươi và tổng những bình phương của bọn chúng bởi 120.

Giải:

Giả sử công sai là d = 2x, 4 số hạng tê liệt theo thứ tự là: a-3x, a-x, a+x, a+3x. Lúc này tớ có:

Bài tập luyện công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân

Kết luận tứ số tất cả chúng ta cần thiết lần theo thứ tự là 2, 4, 6, 8

Bài 2: Cho cấp cho số cộng:

(u_n): $\left\{\begin{matrix} u_{5} + 3u_{3} - u_{2} = -21\\ 3u_{7} - 2u_{4} = -34 \end{matrix}\right.$

Hãy tính số hạng loại 100 của cấp cho số cộng?

Giải:

Từ giải thiết, tất cả chúng ta có:

$\left\{\begin{matrix} 3(u_{1} + 6d) - 2(u_{1} + 3d) = -34\\ u_{1} + 4d +3(u_{1} + 2d) - (u_{1} + d) = -21 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} + 3d = -7\\ u_{1} +12d = -34 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} = 2\\ d = -3 \end{matrix}\right.$

Xem thêm: Sinh năm 1997 mệnh gì? Tuổi Đinh Sửu hợp tuổi nào, màu gì?

=> $u_{100}=u_{1}+99d= -295$

Bài 3: Cho cấp cho số cộng

$u_{n}: \left\{\begin{matrix} u_{2} - u_{3} + u_{5} = 10\\ u_{4} + u_{6} = 26 \end{matrix}\right.$

Hãy tính công sai, công thức tổng quát tháo cấp cho số nằm trong vẫn cho tới.

Giải:

Gọi d là công sai của cấp cho số nằm trong vẫn cho tới, tớ có:

$\left\{\begin{matrix} (u_{1} + d) - (u_{1} + 2d) + (u_{1} + 4d) = 10\\ u_{1} + 3d + (u_{1} + 5d) = 26 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} + 3d = 10\\ u_{1} + 4d = 13 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} = 1\\ d = 3 \end{matrix}\right.$

Công sai của cấp cho số nằm trong bên trên d=3, số hạng tổng quát tháo là u_n= u₁+(n-1)d = 3n-2

Bài 4: Cho cấp cho số cộng

$(u_{n}): \left\{\begin{matrix} u_{2} - u_{3} + u_{5} = 10\\ u_{4} + u_{6} = 26 \end{matrix}\right.$

Hãy tính S = u₁ + u₄+ u₇+…+ u₂₀₁₁?

Giải:

Ta với những số hạng u₁, u₄, u₇,…,u₂₀₁₁ lập được trở nên một cấp cho số nằm trong bao hàm 670 số hạng và với công sai d’ = 3d. Do tê liệt tớ có:

$S = \frac{670}{2}(2u_{1} + 669d') = 673015$

Bài 5: Cho cấp cho số nằm trong hãy xác lập công sai và công thức tổng quát:

Giải:

Gọi d là công sai của cấp cho số nằm trong, tớ có:

$\left\{\begin{matrix} u_{1} - u_{3} + u_{5} = 10\\ u_{4} + u_{6} = 26 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} - (u_{1} + 2d) + u_{1} + 4d = 10\\ u_{1} + 3d + u_{1} + 5d = 26 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} + 2d = 10\\ u_{1} + 6d = 26 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} = 1\\ d = 3 \end{matrix}\right.$

Vậy tớ với công sai của cấp cho số là d=3

Công thức tổng quát:

Bài 6: Cấp số nhân (u_n) với những số hạng không giống 0 hãy lần u₁ biết rằng:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{3} + u_{4}^{4} = 85\\ u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} = 15 \end{matrix}\right.$

Giải:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}^{2}(1 + q^{2} + q^{4} + q^{6}) = 85\\ u_{1}(1 + q + q^{2} + q^{3}) = 15 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}\frac{q^{4} - 1}{q - 1} = 15\\ u_{1}^{2}\frac{q^{8} - 1}{q^{2} - 1} = 85 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (\frac{q^{4} - 1}{q - 1})^{2} (\frac{q^{8} - 1}{q^{2} - 1}) = \frac{45}{17} \Leftrightarrow \frac{(q^{4} - 1)(q + 1)}{(q - 1)(q^{4} = 1)} = \frac{45}{17}$

$\Leftrightarrow$ q = 2 hoặc q = $\frac{1}{2}$

Kết luận u₁= 1 hoặc u₁= 8

Bài 7: Cho cấp cho số nhân sau:

$(u_{n}): \left\{\begin{matrix} u_{3} = 243u_{8}\\ u_{4} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right.$

Hỏi 5 số hạng đầu của cấp cho số nhân bên trên là bao nhiêu?

Giải:

Gọi q là bội của cấp cho số. Theo giải thiết tất cả chúng ta có:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}q^{2} = 243u_{1}q^{7}\\ u_{1}q^{3} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{243} = q^{5}\\ u_{1}q^{3} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} q = \frac{1}{3}\\ u_{1} = 2 \end{matrix}\right.$

5 số hạng đầu của cấp cho số nhân cần thiết lần là u₁= 2, u₂= 23, u₃= 29, u₄= 27, u₅= 281

Bài 8: Cho cấp cho số nhân sau:

$(u^{n}): \left\{\begin{matrix} u_{3} = 243u_{8}\\ u_{4} = \frac{2}{27} \end{matrix}\right.$

Tính tổng của 10 số hạng đầu của cấp cho số nhân?

Giải:

$S_{10} = u_{1}\frac{q^{10} - 1}{q - 1} = 2.\frac{(\frac{1}{3})^{10} - 1}{q - 1} = \frac{59048}{19683}$

Bài 9: Cho cấp cho số nhân thỏa mãn

$\left\{\begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} + u_{5} = 11\\ u_{1} + u_{5} = \frac{82}{11} \end{matrix}\right.$

Hãy tính công bội và công thức tổng quát tháo của cấp cho số nhân bên trên.

Giải:

a. Từ fake thiết nhưng mà đề bài bác vẫn cho tới tớ có:

$\left\{\begin{matrix} u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} + u_{5} = 11\\ u_{1} + u_{5} = \frac{82}{11} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{2} + u_{3} + u_{4} = \frac{39}{11}\\ u_{1} + u_{1}q^{4} = \frac{82}{11} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{q^{4} + 1}{q^{3} + q^{2} +q} = \frac{82}{39}$

$\Leftrightarrow (q - 3)(3q - 1)(13q^{2} + 16q + 13) = 0$

$\Leftrightarrow q = \frac{1}{3}$ hoặc q = 3

Trong TH $q = \frac{1}{3} \Leftrightarrow u_{1} = \frac{81}{11} \Leftrightarrow u_{n} = \frac{81}{11}\frac{1}{3^{n-1}}$

Trong TH q = 3 $\Leftrightarrow u_{1} = \frac{1}{11} \Leftrightarrow u_{n} = \frac{3^{n - 1}}{11}$

PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học tập online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:

⭐ Xây dựng suốt thời gian học tập kể từ tổn thất gốc cho tới 27+

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học tập theo gót sở thích

⭐ Tương tác thẳng hai phía nằm trong thầy cô

⭐ Học đến lớp lại cho tới lúc nào hiểu bài bác thì thôi

⭐ Rèn tips tricks chung bức tốc thời hạn thực hiện đề

⭐ Tặng full cỗ tư liệu độc quyền nhập quy trình học tập tập

Đăng ký học tập test không tính phí ngay!!

Hy vọng những công thức cấp cho số nằm trong và cấp cho số nhân nhưng mà VUIHOC mang tới phần nào là chung chúng ta ghi lưu giữ hiệu suất cao và và giới hạn sơ sót nhập quy trình giải bài bác tập luyện cấp cho số cộng, cấp số nhân nhập công tác Toán 11. Các các bạn học viên hãy ĐK khóa đào tạo dành riêng cho học viên lớp 12 ôn ganh đua trung học phổ thông bên trên Vuihoc.vn nhé! Chúc chúng ta ôn ganh đua thiệt hiệu suất cao.

Xem thêm: Bear Việt Nam - Hàng gia dụng Bear chính hãng tại Việt Nam

>> Xem thêm:

Tổng hợp ý công thức Toán 12 ôn ganh đua trung học phổ thông Quốc gia

Ôn ganh đua toán đảm bảo chất lượng nghiệp THPT