Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện ganh đua vô lớp 10

Tìm độ quý hiếm của x nhằm biểu thức nhận độ quý hiếm vẹn toàn là dạng bài bác thông thường xuất hiện tại trong số đề ganh đua Toán lớp 9 rưa rứa tuyển chọn sinh vô lớp 10. Để chung những em học viên nắm rõ dạng Toán này, VnDoc gửi cho tới chúng ta tư liệu Tìm độ quý hiếm x vẹn toàn nhằm A nhận độ quý hiếm vẹn toàn, kèm cặp ví dụ minh họa và bài bác tập luyện tự động luyện. Tài liệu này sẽ hỗ trợ những em thích nghi với những dạng bài bác tập luyện thám thính x, kể từ bại liệt nâng lên tài năng giải bài bác nhằm sẵn sàng chất lượng tốt mang lại kì ganh đua vô lớp 10 tới đây. Dưới đấy là nội dung cụ thể, chào những em nằm trong xem thêm nhé.

Bạn đang xem: Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên

I. Cách thám thính độ quý hiếm của x nhằm biểu thức nguyên

1. Dạng 1: Tìm độ quý hiếm vẹn toàn của x nhằm biểu thức A nhận độ quý hiếm nguyên

+ Thông thông thường biểu thức A sẽ sở hữu được dạng $A = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ vô bại liệt f(x) và g(x) là những nhiều thức và g(x) ≠ 0

+ Cách làm:

- Cách 1: Tách về dạng $A = m\left( x \right) + \frac{k}{{g\left( x \right)}}$ vô bại liệt m(x) là một trong những biểu thức vẹn toàn khi x vẹn toàn và k có mức giá trị là số nguyên

- Cách 2: Để A nhận độ quý hiếm vẹn toàn thì $\frac{k}{{g\left( x \right)}}$ nguyên hoặc $k \vdots g\left( x \right)$ tức thị g(x) nằm trong tập luyện ước của k

- Cách 3: Lập bảng nhằm tính những độ quý hiếm của x

- Cách 4: Kết phù hợp với ĐK đề bài bác, vô hiệu những độ quý hiếm ko thích hợp, tiếp sau đó Kết luận bài bác toán

2. Dạng 2: Tìm độ quý hiếm của x nhằm biểu thức A nhận độ quý hiếm nguyên

+ Đây là một trong những dạng nâng cao hơn nữa của dạng bài bác tập luyện thám thính gá trị vẹn toàn của x nhằm biểu thức A nhận độ quý hiếm vẹn toàn bởi vì tớ ko xác lập độ quý hiếm của đổi thay x đem vẹn toàn hay là không nhằm đổi khác biểu thức A về dạng $A = m\left( x \right) + \frac{k}{{g\left( x \right)}}$ . Bởi vậy, nhằm thực hiện được dạng bài bác tập luyện này, tất cả chúng ta tiếp tục triển khai quá trình sau:

- Cách 1: sát dụng ĐK cùng theo với những bất đẳng thức và đã được, minh chứng m < A < M vô bại liệt m, M là những số nguyên

- Cách 2: Trong khoảng tầm kể từ m cho tới M, thám thính những độ quý hiếm nguyên

- Cách 3: Với từng độ quý hiếm vẹn toàn ấy, thám thính độ quý hiếm của đổi thay x

- Cách 4: Kết phù hợp với ĐK đề bài bác, vô hiệu những độ quý hiếm ko thích hợp rồi kết luận

II. Bài tập luyện ví dụ thám thính độ quý hiếm của x nhằm biểu thức nhận độ quý hiếm nguyên

Bài 1: Tìm những độ quý hiếm vẹn toàn của đổi thay số x nhằm biểu thức đang được mang lại cũng có thể có độ quý hiếm nguyên

a, $\frac{2}{{x - 1}}$ b, $\frac{{x - 2}}{{x - 1}}$ c, $\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$

Lời giải:

Bài toán nằm trong vô dạng 1: thám thính những độ quý hiếm vẹn toàn của x nhằm biểu thức nhận độ quý hiếm vẹn toàn. Cách thực hiện ví dụ mang lại từng bài bác như sau:

a, $\frac{2}{{x - 1}}$ đem ĐK x ≠ 1

Để $\frac{2}{{x - 1}}$ nhận độ quý hiếm vẹn toàn thì $2 \vdots \left( {x - 1} \right)$ ⇔ x - 1 ∈ Ư(2) = {± 1; ± 2}

Ta đem bảng:

x - 1	-2	-1	1	2
x	-1 (thỏa mãn)	0 (thỏa mãn)	2 (thỏa mãn)	3 (thỏa mãn)

Vậy với x ∈ {- 1; 0; 2; 3} thì biểu thức $\frac{2}{{x - 1}}$ nhận độ quý hiếm nguyên

b, $\frac{{x - 2}}{{x - 1}}$ có ĐK x ≠ 1

Ta có: $\frac{{x - 2}}{{x - 1}} = \frac{{x - 1 - 1}}{{x - 1}} = \frac{{x - 1}}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - 1}} = 1 - \frac{1}{{x - 1}}$

Để $\frac{{x - 2}}{{x - 1}}$ nhận độ quý hiếm vẹn toàn thì $1 \vdots \left( {x - 1} \right)$ ⇔ x - 1 ∈ Ư(1) = {± 1}

Ta đem bảng:

Vậy với x ∈ {0; 2} thì biểu thức $\frac{{x - 2}}{{x - 1}}$ nhận độ quý hiếm nguyên

c, $\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$ có ĐK là x ≥ 0

$\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{3\left( {\sqrt x + 1} \right) - 3}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{3}{{\sqrt x + 1}} = 3 - \frac{3}{{\sqrt x + 1}}$

Để $\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$ nhận độ quý hiếm vẹn toàn thì $3 \vdots \left( {\sqrt x + 1} \right) \Leftrightarrow \sqrt x + 1 \in U\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}$

Ta đem bảng:

$\sqrt x + 1$	-3	-1	1	3
$\sqrt x$	-4 (loại)	-2 (loại)	0	2
x			0 (thỏa mãn)	4 (thỏa mãn)

Vậy với x ∈ {0; 4} thì biểu thức $\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$ nhận độ quý hiếm nguyên

Bài 2: Tìm độ quý hiếm của x nhằm những biểu thức sau đây nhận độ quý hiếm nguyên

a, $\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}}$ b, $\frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}$

Lời giải:

Bài toán nằm trong vô dạng 2: thám thính những độ quý hiếm của x nhằm biểu thức nhận độ quý hiếm vẹn toàn. Cách thực hiện ví dụ mang lại từng bài bác như sau:

a, $\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}}$ đem ĐK là x ≥ 0

Có $x \ge 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\sqrt x \ge 0\\ x + 3 \ge 3 > 0 \end{array} \right.$ . Suy đi ra tớ đem $\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}} \ge 0\forall x \ge 0$ (1)

Lại đem $\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}} = \frac{2}{{\sqrt x + \dfrac{3}{{\sqrt x }}}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy mang lại $x \ge 0$ đem $\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} \ge 2.\sqrt {\sqrt x .\frac{3}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 3$

$\Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}}} \le \frac{2}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) tớ có: $0 \le \frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}} \le \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ nhưng mà biểu thức nhận độ quý hiếm vẹn toàn nên $\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}} = 0$

Giải phương trình tính được x = 0

Vậy với x = 0 thì biểu thức nhận độ quý hiếm nguyên

b, $\frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}$ có ĐK là x ≥ 0

Có $x \ge 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\sqrt x \ge 0\\ x + \sqrt x + 1 \ge 0 \end{array} \right.\forall x \ge 0$ (1)

Lại đem $\frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} = \frac{2}{{\sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy mang lại $x \ge 0$ có

$\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} \ge 2 \Rightarrow \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} + 1 \ge 3 \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x + 1 + \frac{1}{{\sqrt x }}}} \le \frac{2}{3}$ (2)

Từ (1) chạm (2) tớ đem $0 \le \frac{{2\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}} \le \frac{2}{3}$ nhưng mà biểu thức nhận độ quý hiếm vẹn toàn nên $\frac{{2\sqrt x }}{{x + 3}} = 0$ . Giải phương trình được x = 0

Vậy với x = 0 thì biểu thức nhận độ quý hiếm nguyên

Bài 3: Cho biểu thức $A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{2\sqrt x - 24}}{{x - 9}};B = \frac{7}{{\sqrt x - 8}}$ với x ≥ 0 và x ≠ 9

a) Rút gọn gàng biểu thức A.

b) Tìm những số vẹn toàn x nhằm M = A. B đạt độ quý hiếm vẹn toàn.

Lời giải:

a) Rút gọn gàng biểu thức tớ được kết quả: $A = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}$

b) Ta có:

$M = A.B = \frac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}.\frac{7}{{\sqrt x + 8}} = \frac{7}{{\sqrt x + 3}} \Rightarrow 0 < M \leqslant \frac{7}{3}$

Xem thêm: Sinh năm 1997 mệnh gì? Tuổi Đinh Sửu hợp tuổi nào, màu gì?

Vậy những độ quý hiếm vẹn toàn của M rất có thể đạt được là một trong những và 2

Với M = 1 tớ có:

$\frac{7}{{\sqrt x + 3}} = 1 \Rightarrow \sqrt x + 3 = 7 \Rightarrow x = 16\left( {tm} \right)$

Với M = 2 tớ có:

$\frac{7}{{\sqrt x + 3}} = 2 \Rightarrow \sqrt x + 3 = \frac{7}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{4}\left( {tm} \right)$

Vậy biểu thức M = A. B nhận độ quý hiếm vẹn toàn khi và chỉ khi x = 16 hoặc x = 1/4.

Bài 4: Cho biểu thức: $A = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x + 1}}{{x\sqrt x + x + \sqrt x }} + \frac{{1 + 2x - 2\sqrt x }}{{{x^2} - \sqrt x }}$ (điều khiếu nại $x > 0,x \ne 1$ )

a) Rút gọn gàng biểu thức A.

b) Tìm độ quý hiếm của x nhằm A nhận độ quý hiếm là số vẹn toàn.

Lời giải:

a) Học sinh triển khai rút gọn gàng biểu thức, tớ đem kết quả: $A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}}$

b) Học sinh xem thêm một trong số cách tiến hành bên dưới đây:

Cách 1: Với $x > 0,x \ne 1$ tớ có: $x + \sqrt x + 1 > \sqrt x + 1 > 1$

Vậy 0 < A $= \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} < \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x + 1}} < 2$

Vì A vẹn toàn nên A = 1 $\Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} = 1$ => x = 1 (Không thỏa mãn)

Vậy không tồn tại độ quý hiếm vẹn toàn này của x nhằm độ quý hiếm A là một trong những vẹn toàn.

Cách 2: Dùng miền giá chỉ trị

$A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} \Leftrightarrow Ax + \left( {A - 1} \right)\sqrt x + A - 2 = 0$

Trường hợp ý 1: Nếu A = 0 $\sqrt x = - 2 \Rightarrow x \in \emptyset$

Trường hợp ý 2: Nếu A không giống 0

$\begin{matrix} \Rightarrow \Delta = {\left( {A - 1} \right)^2} - 4A\left( {A - 2} \right) = - 3{A^2} + 6A + 1 \geqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow {A^2} - 2A - \dfrac{1}{3} \leqslant 0 \Leftrightarrow {A^2} - 2A + 1 \leqslant \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow {\left( {A - 1} \right)^2} \leqslant \dfrac{4}{3} \hfill \\ \Rightarrow A \in \left\{ {1;2} \right\} \hfill \\ A \in \mathbb{Z},A > 0 \hfill \\ \end{matrix}$

Với A = 1 => x = 1 (Loại)

Với A = 2 $\Rightarrow \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}} = 2$ => x = 0 (Loại)

Vậy không tồn tại độ quý hiếm vẹn toàn này của x nhằm độ quý hiếm A là một trong những vẹn toàn.

III. Bài tập luyện tự động luyện thám thính độ quý hiếm của x nhằm biểu thức có mức giá trị nguyên

Bài 1: Tìm những độ quý hiếm vẹn toàn của x nhằm biểu thức sau đây nhận độ quý hiếm nguyên

a, $\frac{2}{{x - 1}}$ b, $\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}}$ c, $\frac{{x + 5}}{x}$

d, $\frac{{{x^2} - 3}}{{x - 2}}$ e, $\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}}$ f, $\frac{7}{{\sqrt x + 3}}$

Bài 2: Tìm những độ quý hiếm của x nhằm biểu thức sau đây nhận độ quý hiếm nguyên:

a, $\frac{{7\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 2}}$ b, $\frac{{15\sqrt x }}{{x + \sqrt x + 1}}$ c, $\frac{{3\sqrt x }}{{x + 5\sqrt x + 9}}$

Bài 3: Cho nhì biểu thức $A = \frac{{2\sqrt x }}{{3 + \sqrt x }}$ và $B = \left( {\frac{{15 - \sqrt x }}{{x - 25}} + \frac{2}{{\sqrt x + 5}}} \right):\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 5}}$ với x ≥ 0; x ≠ 25.

1) Rút gọn gàng B.

2) Đặt Phường = A + B. Tìm x vẹn toàn nhằm Phường nhận độ quý hiếm vẹn toàn.

Bài 4: Cho biểu thức $P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} + \frac{3}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{6\sqrt x - 4}}{{x - 1}}$ với x ≥ 0; x ≠ 1.

1) Rút gọn gàng Phường.

2) Tìm x nhằm Phường = -1.

3) Tìm x vẹn toàn nhằm Phường nhận độ quý hiếm vẹn toàn.

Bài 5: Cho biểu thức:

$A = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}};B = \frac{{x - 2}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{2}{{\sqrt x }} + \frac{4}{{x - 2\sqrt x }};\left( {x > 0;x \ne 4} \right)$

a. Tính độ quý hiếm của biểu thức A khi x = 9

b. Rút gọn gàng B

c. Tìm toàn bộ những độ quý hiếm vẹn toàn của x nhằm C = A.B nhận độ quý hiếm vẹn toàn.

Bài 6: Cho nhì biểu thức:

$A = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}};B = \frac{4}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{2x - \sqrt x + 13}}{{x - 9}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}$

(với x ≥ 0; x ≠ 9)

a) Tính độ quý hiếm của biểu thức A khi x = 4.

b) Đặt Phường = A/B. Chứng minh rằng $P = \frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}}$

c) Tính độ quý hiếm của x vẹn toàn nhỏ nhất nhằm biểu thức Phường có mức giá trị vẹn toàn.

Bài 7: Cho những biểu thức:

$A = \frac{{3\sqrt x - 21}}{{x - 9}};B = \frac{2}{{\sqrt x - 3}}$ (với x ≥ 0; x ≠ 9)

a) Tính độ quý hiếm của biểu thức B khi x = 16

b) Rút gọn gàng biểu thức M = A + B

c) Tìm toàn bộ những số vẹn toàn x nhằm M có mức giá trị là số vẹn toàn.

Bài 8: Cho biểu thức $B = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - 3}} - \frac{3}{{\sqrt a + 3}} - \frac{{a - 2}}{{a - 9}}$ với $a \geqslant 0;a \ne 9$

a) Rút gọn gàng biểu thức B

Xem thêm: Sinh năm 1997 mệnh gì? Hợp màu gì? Đá phong thủy nào?

b) Tìm những số vẹn toàn a nhằm B nhận độ quý hiếm vẹn toàn.

-----------------

Ngoài chuyên mục thám thính độ quý hiếm x vẹn toàn nhằm A nhận độ quý hiếm vẹn toàn Toán lớp 9 - chuyên mục luyện ganh đua vô lớp 10, chào chúng ta học viên những tư liệu Toán 9 và những đề ganh đua tuyển chọn sinh vô lớp 10 môn Toán hoặc những chuyên mục luyện ganh đua vô lớp 10 như Rút gọn gàng biểu thức, Hàm số đồ gia dụng thị, Phương trình - Hệ Phương trình, Giải Việc bằng phương pháp lập phương trình, hệ phương trình, Hình học tập,... nhưng mà Cửa Hàng chúng tôi đang được thuế tầm và tinh lọc. Với bài bác tập luyện về chuyên mục này chung chúng ta tập luyện thêm thắt tài năng giải đề và thực hiện bài bác chất lượng tốt rộng lớn. Chúc chúng ta học hành tốt!