Các phương pháp xác định hình chiếu của điểm lên mặt phẳng

Để xác đánh giá chiếu của điểm lên phía trên mặt phẳng phiu, tao rất có thể tiến hành công việc sau đây:
Bước 1: Xác đánh giá chiếu của điểm lên đường thẳng liền mạch vuông góc với mặt mày phẳng:
- Vẽ đường thẳng liền mạch trải qua điểm cơ và vuông góc với mặt mày phẳng phiu.
- Tìm giao phó điểm thân thích đường thẳng liền mạch và mặt mày phẳng phiu, ký hiệu là H.
Bước 2: Xác đánh giá chiếu của điểm lên phía trên mặt phẳng:
- Vẽ đường thẳng liền mạch trải qua điểm cơ và bên cạnh đó vuông góc với mặt mày phẳng phiu ko xác đánh giá chiếu.
- Tìm giao phó điểm thân thích đường thẳng liền mạch này với mặt mày phẳng phiu, ký hiệu là Q.
- Hình chiếu của điểm lên phía trên mặt phẳng phiu đó là điểm Q.
Lưu ý: Khi xác đánh giá chiếu của điểm lên phía trên mặt phẳng phiu, tao cần thiết xác lập rõ rệt mặt mày phẳng phiu này đó là mặt mày phẳng phiu nào là và với phương trình ra làm sao.

Bạn đang xem: Các phương pháp xác định hình chiếu của điểm lên mặt phẳng

Để xác đánh giá chiếu của một điểm lên một phía phẳng phiu, tao rất có thể tiến hành công việc sau:
Bước 1: Xác quyết định phương trình mặt mày phẳng
Đầu tiên, tất cả chúng ta cần thiết xác lập phương trình của mặt mày phẳng phiu cơ. Phương trình mặt mày phẳng phiu thông thường được mang đến bên dưới dạng Ax + By + Cz + D = 0, vô cơ A, B, C là những thông số của mặt mày phẳng phiu và (x, hắn, z) là tọa chừng của một điểm ngẫu nhiên bên trên mặt mày phẳng phiu. Ví dụ, phương trình mặt mày phẳng phiu rất có thể là x + 2y - z + 5 = 0.
Bước 2: Xác quyết định tọa chừng của vấn đề cần xác đánh giá chiếu
Tiếp theo dõi, tất cả chúng ta cần phải biết tọa chừng của vấn đề cần xác đánh giá chiếu lên phía trên mặt phẳng phiu. Ví dụ, mang đến điểm M(-1, 2, 1).
Bước 3: Xác đánh giá chiếu của điểm lên phía trên mặt phẳng
Để xác đánh giá chiếu của điểm M lên phía trên mặt phẳng phiu, tất cả chúng ta tiếp tục thăm dò tọa chừng của điểm H, là vấn đề giao phó của đường thẳng liền mạch trải qua điểm M và vuông góc với mặt mày phẳng phiu (P). cũng có thể tiến hành công việc sau:
- Viết phương trình đường thẳng liền mạch trải qua điểm M và vuông góc với mặt mày phẳng phiu (P). Đường trực tiếp này còn có dạng: x = x₀ + At, hắn = y₀ + Bt, z = z₀ + Ct, vô cơ (x₀, y₀, z₀) là tọa chừng của điểm M, (A, B, C) là vector pháp tuyến của mặt mày phẳng phiu và t là một trong thông số tự tại.
- Thay những phương trình x, hắn, z vô phương trình mặt mày phẳng phiu, tao sẽ sở hữu được phương trình với dạng Ax + By + Cz + D = 0.
- Tìm thông số t sao mang đến phương trình đường thẳng liền mạch và phương trình mặt mày phẳng phiu bên trên nằm trong rất có thể bên cạnh đó thỏa mãn nhu cầu. Thông thông thường, tao thay cho phương trình x, hắn, z kể từ đường thẳng liền mạch vô phương trình mặt mày phẳng phiu và giải hệ phương trình nhằm thăm dò rời khỏi độ quý hiếm của t.
- Sau cơ, thay cho độ quý hiếm của t vô phương trình đường thẳng liền mạch nhằm tính tọa chừng của điểm H.
Vậy, tao vẫn xác lập được tọa chừng của điểm H, là hình chiếu của điểm M lên phía trên mặt phẳng phiu (P).

Để xác lập phương trình đường thẳng liền mạch trải qua một điểm và vuông góc với một phía phẳng phiu, tao dùng cách thức sau đây:
Bước 1: Xác quyết định gốc tọa chừng của mặt mày phẳng phiu bằng phương pháp lấy tọa chừng của nút giao trong số những đường thẳng liền mạch chứa chấp nhị sản phẩm của hệ phương trình đặc thù của mặt mày phẳng phiu.
Bước 2: Từ gốc tọa chừng, vẽ vectơ pháp tuyến của mặt mày phẳng phiu bằng phương pháp dùng thông số của những phát triển thành vô phương trình đặc thù của mặt mày phẳng phiu.
Bước 3: Sử dụng điểm vẫn mang đến và vectơ pháp tuyến của mặt mày phẳng phiu sẽ tạo trở thành một vectơ chỉ phương của đường thẳng liền mạch cần thiết thăm dò.
Bước 4: Sử dụng phương trình thông số của đường thẳng liền mạch (được tạo hình vì chưng điểm và vectơ pháp tuyến của mặt mày phẳng) nhằm xác lập phương trình đường thẳng liền mạch cần thiết thăm dò.
Với công việc bên trên, tất cả chúng ta rất có thể xác lập phương trình đường thẳng liền mạch trải qua một điểm và vuông góc với một phía phẳng phiu.

Để thăm dò giao phó điểm thân thích đường thẳng liền mạch và mặt mày phẳng phiu, tất cả chúng ta rất có thể tiến hành công việc sau đây:
Bước 1: Viết phương trình của đường thẳng liền mạch. quý khách hàng cần phải biết vấn đề về đường thẳng liền mạch, ví như điểm phía trên đường thẳng liền mạch và vị trí hướng của đường thẳng liền mạch.
Bước 2: Viết phương trình của mặt mày phẳng phiu. quý khách hàng cần phải biết vấn đề về mặt mày phẳng phiu, ví như điểm phía trên mặt mày phẳng phiu và thông số của mặt mày phẳng phiu.
Bước 3: Giải hệ phương trình. Khi vẫn với phương trình của đường thẳng liền mạch và mặt mày phẳng phiu, chúng ta có thể giải hệ phương trình nhằm thăm dò giao phó điểm của bọn chúng. Việc giải phương trình rất có thể được tiến hành bằng phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính thường thì.
Bước 4: Kiểm tra thành quả. Với những độ quý hiếm của những phát triển thành vẫn tìm kiếm ra, hãy đánh giá liệu bọn chúng với thỏa mãn nhu cầu cả phương trình đường thẳng liền mạch và mặt mày phẳng phiu hay là không. Nếu cả nhị phương trình đều trúng, điểm cơ đó là giao phó điểm thân thích đường thẳng liền mạch và mặt mày phẳng phiu.
Chúng tao rất có thể vận dụng phương pháp này nhằm xác lập giao phó điểm thân thích đường thẳng liền mạch và mặt mày phẳng phiu trong số tình huống ví dụ.

Để xác lập mặt mày phẳng phiu theo dõi phương trình vô hệ tọa chừng Oxyz, tao cần thiết thực hiện như sau:
Bước 1: Xem xét những thông số của phương trình và xác lập thông số của những phát triển thành.
Bước 2: Chia những thông số của phát triển thành mang đến thông số của phát triển thành có mức giá trị vô cùng lớn số 1 nhằm đơn giản và giản dị hoá phương trình.
Bước 3: Gán độ quý hiếm mang đến phát triển thành chưa chắc chắn nhằm thăm dò những điểm bên trên mặt mày phẳng phiu.
Bước 4: Sử dụng hệ tọa chừng Oxyz và những điểm vẫn xác lập kể từ bước 3 nhằm vẽ mặt mày phẳng phiu.
Ví dụ: Xác quyết định mặt mày phẳng phiu theo dõi phương trình 2x - 3y + z = 6.
Bước 1: Hệ số của phát triển thành x là 2, của phát triển thành hắn là -3, và của phát triển thành z là một trong những.
Bước 2: Chia những thông số mang đến 2 nhằm đơn giản và giản dị hoá phương trình, tao với x - 1.5y + 0.5z = 3.
Bước 3: Gán độ quý hiếm cho những phát triển thành chưa chắc chắn. Ví dụ, lựa chọn x = 0, hắn = 0.
Thay những độ quý hiếm vô phương trình, tao với 0 - 1.5 * 0 + 0.5z = 3, suy rời khỏi z = 6.
Do cơ, với điểm (0, 0, 6) phía trên mặt mày phẳng phiu.
Bước 4: Vẽ mặt mày phẳng phiu bằng phương pháp dùng hệ tọa chừng Oxyz và những điểm vẫn xác lập kể từ bước 3.

Để xác lập phương trình mặt mày phẳng phiu dựa vào điểm và hệ tọa chừng, tao rất có thể tuân theo công việc sau:
Bước 1: sành điểm và vector pháp tuyến của mặt mày phẳng phiu.
- Cho điểm P.. (a, b, c) và vector pháp tuyến của mặt mày phẳng phiu là n = (m, n, p).

Xem thêm: Sinh năm 1997 mệnh gì? Hợp màu gì? Đá phong thủy nào?

Bước 2: Xác quyết định phương trình mặt mày phẳng phiu.
- Phương trình tổng quát tháo của một phía phẳng phiu vô không khí tía chiều là Ax + By + Cz + D = 0, với A, B, C, D là những thông số cần thiết thăm dò.
- Vì vector pháp tuyến của mặt mày phẳng phiu n = (m, n, p) nên phương trình tao rất có thể viết lách lại bên dưới dạng Am + Bn + Cp + D = 0.
- Substituting a, b, c vô phương trình tao có: Aa + Bb + Cc + D = 0.
- Dùng vector pháp tuyến và điểm bên trên mặt mày phẳng phiu vẫn mang đến nhằm thăm dò những thông số A, B, C, D.
Bước 3: Tìm phương trình mặt mày phẳng phiu đúng mực.
- Khi vẫn với những thông số A, B, C, D, tao rất có thể viết lách Phương trình mặt mày phẳng phiu đúng là Ax + By + Cz + D = 0.

Các bước bên trên canh ty xác lập phương trình mặt mày phẳng phiu dựa vào điểm và hệ tọa chừng mang đến trước.

Để xác lập phương trình đường thẳng liền mạch qua loa một điểm và vuông góc với mặt mày phẳng phiu vẫn mang đến, chúng ta có thể tuân theo công việc sau:
Bước 1: Xác quyết định vector pháp tuyến của mặt mày phẳng phiu.
- Lấy những thông số của biểu thức phương trình mặt mày phẳng phiu (ví dụ: x + 2y - z + 5 = 0), tao với vector pháp tuyến của mặt mày phẳng phiu là (1, 2, -1).
Bước 2: Tìm một vector vị trí hướng của đường thẳng liền mạch.
- Chọn một vector ko trùng với vector pháp tuyến của mặt mày phẳng phiu (ví dụ: (0, 1, 0)).
- Lưu ý rằng, vector phía này ko phương tiện đi lại chỉ mang đến hình chiếu của điểm lên phía trên mặt phẳng phiu, nhưng mà nó chỉ là một trong vector hướng trực tiếp vuông góc với mặt mày phẳng phiu.
Bước 3: Tạo phương trình đường thẳng liền mạch.
- Sử dụng điểm vẫn mang đến và vector phía, tao rất có thể tạo ra phương trình đường thẳng liền mạch. Ví dụ, nếu như điểm vẫn cho rằng A(-1, 2, 1) và vector phía là B(0, 1, 0), thì phương trình đường thẳng liền mạch rất có thể được viết lách bên dưới dạng:
(x, hắn, z) = (-1, 2, 1) + t(0, 1, 0), với t là một trong những thực.
Bước 4: Rút gọn gàng phương trình đường thẳng liền mạch.
- Rút gọn gàng phương trình đường thẳng liền mạch bằng phương pháp xử lý hệ phương trình. Ví dụ, Ta có:
x = -1 + 0t = -1
y = 2 + 1t = 2 + t
z = 1 + 0t = 1
Vậy, phương trình đường thẳng liền mạch qua loa điểm A(-1, 2, 1) và vuông góc với mặt mày phẳng phiu vẫn mang đến là:
(x, hắn, z) = (-1, 2 + t, 1), với t là một trong những thực.

Để thăm dò điểm chiếu của một điểm lên phía trên mặt phẳng phiu, tao rất có thể tuân theo công việc sau đây:
Bước 1: Xác quyết định phương trình của mặt mày phẳng phiu (P) trải qua những thông số kỹ thuật vẫn mang đến hoặc những điểm vẫn biết bên trên mặt mày phẳng phiu.
Bước 2: Tìm đường thẳng liền mạch qua loa điểm thuở đầu và tuy nhiên song với pháp tuyến của mặt mày phẳng phiu (P). Đường trực tiếp này được gọi là đường thẳng liền mạch chiếu.
Bước 3: Tìm điểm cộng đồng thân thích đường thẳng liền mạch chiếu và mặt mày phẳng phiu (P). Điểm này đó là điểm chiếu của điểm thuở đầu lên phía trên mặt phẳng phiu.
Ví dụ: Cho mặt mày phẳng phiu (P): x + 2y - z + 5 = 0 và điểm M(-1, 2, 1). Hãy xác lập điểm chiếu của M lên phía trên mặt phẳng phiu (P).
Bước 1: Ta vẫn với phương trình của mặt mày phẳng phiu (P): x + 2y - z + 5 = 0.
Bước 2: Để thăm dò đường thẳng liền mạch chiếu, tao cần thiết thăm dò pháp tuyến của mặt mày phẳng phiu (P). Pháp tuyến của mặt mày phẳng phiu (P) đó là vector chỉ phương (1, 2, -1).
Đường trực tiếp chiếu tiếp tục trải qua điểm M và được đặt theo hướng là vector pháp tuyến của mặt mày phẳng phiu nên phương trình của đường thẳng liền mạch chiếu rất có thể viết lách dạng:
x = -1 + t
y = 2 + 2t
z = 1 - t
Bước 3: Tìm điểm cộng đồng thân thích đường thẳng liền mạch chiếu và mặt mày phẳng phiu (P). Thay những độ quý hiếm của x, hắn và z vô phương trình mặt mày phẳng phiu (P) vô phương trình của đường thẳng liền mạch chiếu, tao có:
-1 + t + 2(2 + 2t) - (1 - t) + 5 = 0
-1 + t + 4 + 4t - 1 + t + 5 = 0
7t + 7 = 0
t = -1
Thay độ quý hiếm của t vô phương trình đường thẳng liền mạch chiếu, tao có:
x = -1 - 1 = -2
y = 2 + 2(-1) = 0
z = 1 - (-1) = 2
Vậy, điểm chiếu của M lên phía trên mặt phẳng phiu (P) với tọa chừng là (-2, 0, 2).

Để xác định và màn trình diễn hình chiếu của một điểm lên phía trên mặt phẳng phiu, tao cần thiết tuân theo công việc sau đây:
Bước 1: Xác quyết định phương trình của mặt mày phẳng phiu (P) qua loa những thông số kỹ thuật của chính nó. Ví dụ: x + 2y - z + 5 = 0.
Bước 2: Tìm tọa chừng của vấn đề cần xác định bên trên không khí. Ví dụ: Điểm M với tọa chừng (-1, 2, 1).
Bước 3: Xác quyết định phương trình đường thẳng liền mạch trải qua điểm M và vuông góc với mặt mày phẳng phiu (P). Để thực hiện điều này, tao dùng công thức sau: \"Phương trình đường thẳng liền mạch trải qua điểm A (x1, y1, z1) và vuông góc với mặt mày phẳng phiu Ax + By + Cz + D = 0 là (x - x1)/A = (y - y1)/B = (z - z1)/C\".
Bước 4: Tìm giao phó điểm của đường thẳng liền mạch vẫn xác lập ở bước 3 với mặt mày phẳng phiu (P). Điểm giao phó này đó là hình chiếu của vấn đề cần xác định lên phía trên mặt phẳng phiu (P).
Ví dụ: Để xác đánh giá chiếu của điểm M(-1, 2, 1) lên phía trên mặt phẳng phiu x + 2y - z + 5 = 0, tao tiến hành công việc sau:
Bước 1: Phương trình mặt mày phẳng phiu (P) là x + 2y - z + 5 = 0.
Bước 2: Điểm M với tọa chừng (-1, 2, 1).
Bước 3: Ta kiến tạo phương trình đường thẳng liền mạch trải qua M và vuông góc với mặt mày phẳng phiu (P) bằng phương pháp dùng công thức: (x + 1)/1 = (y - 2)/2 = (z - 1)/(-1).
Bước 4: Tiếp theo dõi, tao giải hệ phương trình thân thích phương trình mặt mày phẳng phiu và phương trình đường thẳng liền mạch vẫn xác lập ở bước 3 nhằm thăm dò nút giao. Trong tình huống này, tao thăm dò nút giao bằng phương pháp thăm dò nghiệm cộng đồng của phương trình nhị mặt mày phẳng: x + 2y - z + 5 = 0 và (x + 1)/1 = (y - 2)/2 = (z - 1)/(-1).
Sau khi tìm kiếm ra nghiệm cộng đồng, tao tiếp tục xác lập được tọa chừng của nút giao, tức là hình chiếu của điểm M lên phía trên mặt phẳng phiu (P).

Xem thêm: Bản đồ quy hoạch Bình Dương, tra cứu thông tin quy hoạch 2024 đến 2030

Để xác lập mặt mày phẳng phiu dựa vào điểm chiếu và hệ tọa chừng, chúng ta có thể tuân theo công việc sau:
1. Xác quyết định điểm nằm trong mặt mày phẳng: Trước tiên, bạn phải xác lập một điểm nằm trong mặt mày phẳng phiu. Điểm này thông thường được gọi là vấn đề chiếu. Nếu bạn đã sở hữu điểm lên phía trên mặt phẳng phiu, chúng ta có thể bỏ dở đoạn này.
2. Xác quyết định hệ tọa độ: Xác quyết định hệ tọa chừng vô không khí tía chiều, thông thường được bịa theo dõi những trục Ox, Oy và Oz. Hệ tọa chừng này giúp cho bạn tế bào mô tả địa điểm của những điểm vô không khí.
3. Xác quyết định vectơ pháp tuyến của mặt mày phẳng: Để xác lập mặt mày phẳng phiu, các bạn cần phải biết vectơ pháp tuyến của mặt mày phẳng phiu cơ. Công thức cộng đồng của một phía phẳng phiu là Ax + By + Cz + D = 0, vô cơ (A, B, C) là vectơ pháp tuyến và (x, hắn, z) là tọa chừng của một điểm ngẫu nhiên bên trên mặt mày phẳng phiu cơ.
4. Tìm công thức của mặt mày phẳng: Với vectơ pháp tuyến vẫn xác lập, chúng ta có thể viết lách phương trình của mặt mày phẳng phiu theo dõi công thức Ax + By + Cz + D = 0, với (A, B, C) là những bộ phận của vectơ pháp tuyến và D là một trong hằng số.
Ví dụ: Giả sử bạn đã sở hữu điểm chiếu M(-1, 2, 1) và hệ tọa chừng Oxyz. Để xác lập mặt mày phẳng phiu dựa vào điểm chiếu và hệ tọa chừng, chúng ta có thể thực hiện như sau:
Bước 1: Xác quyết định điểm nằm trong mặt mày phẳng: Điểm chiếu M là vấn đề nằm trong mặt mày phẳng phiu.
Bước 2: Xác quyết định hệ tọa độ: Hệ tọa chừng Oxyz và được mang đến.
Bước 3: Xác quyết định vectơ pháp tuyến: Dựa bên trên điểm chiếu M và mặt mày phẳng phiu (P) vẫn mang đến, tao rất có thể xác lập vectơ pháp tuyến (A, B, C) bằng phương pháp lựa chọn 3 điểm nằm trong mặt mày phẳng phiu và đo lường và tính toán vectơ của bọn chúng. Ví dụ, lấy 3 điểm N(0, 0, 5), P(5, 0, 3) và Q(0, 5, 4), tao rất có thể tính:
Vectơ NP = P.. - N = (5, 0, 3) - (0, 0, 5) = (5, 0, -2)
Vectơ NQ = Q - N = (0, 5, 4) - (0, 0, 5) = (0, 5, -1)
Vectơ pháp tuyến (A, B, C) rất có thể lấy là tích vô vị trí hướng của nhị vectơ NP và NQ:
(A, B, C) = NP x NQ = (5, 0, -2) x (0, 5, -1) = (-5, -10, -25)
Bước 4: Tìm công thức của mặt mày phẳng: Với vectơ pháp tuyến vẫn xác lập, tao rất có thể viết lách phương trình của mặt mày phẳng phiu như sau:
-5x - 10y - 25z + D = 0
Để xác lập hằng số D, tao thay cho toạ chừng của điểm chiếu M(-1, 2, 1) vô phương trình trên:
-5(-1) - 10(2) - 25(1) + D = 0
D = -42
Vậy phương trình của mặt mày phẳng phiu (P) là -5x - 10y - 25z - 42 = 0.