Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - Lý thuyết Toán học 11 -

1. Định nghĩa

Đường trực tiếp a được gọi là vuông góc với mặt mũi bằng (P) nếu a vuông góc với từng đường thẳng liền mạch a ở trong mặt mũi bằng (P). 

Bạn đang xem: Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng - Lý thuyết Toán học 11 -

Kí hiệu: \(a \bot \left ( P.. \right )\)

Định nghĩa đường thẳng liền mạch vuông góc mặt mũi phẳng

\(a \bot (P) \Leftrightarrow a \bot c,\forall c \subset (P)\)

2. Định lý

Nếu đường thẳng liền mạch d vuông góc với hai tuyến phố trực tiếp hạn chế nhau a và b của mặt mũi bằng (P) thì \(d \bot \left ( P.. \right ).\)

Hệ quả: Nếu một đường thẳng liền mạch vuông góc với nhì cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh loại tía của tam giác bại liệt.

3. Các tính chất

Tính hóa học 1: Có một và duy nhất đàng mặt mũi bằng trải qua một điểm mang lại trước và vuông góc với cùng một đường thẳng liền mạch mang lại trước.

Tính hóa học 2: Có có một không hai một đường thẳng liền mạch trải qua một điểm mang lại trước và vuông góc với một phía bằng mang lại trước.

4. Liên hệ thân ái mối quan hệ tuy vậy song và mối quan hệ vuông góc thân ái đường thẳng liền mạch và mặt mũi phẳng

a) Tính hóa học 1

• Cho hai tuyến phố trực tiếp tuy vậy tuy vậy. Mặt bằng này vuông góc với đường thẳng liền mạch này thì cũng vuông góc với đường thẳng liền mạch bại liệt.

\(\left. \begin{array}{l} a//b\\ \left( \alpha \right) \bot a \end{array} \right\} \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot b\)

• Hai đường thẳng liền mạch phân biệt nằm trong vuông góc với một phía bằng thì tuy vậy song cùng nhau.

\(\left. \begin{array}{l} a \bot (\alpha )\\ b \bot (\alpha )\\ a \ne b \end{array} \right\} \Rightarrow a//b\)

b) Tính hóa học 2

• Cho nhì mặt mũi bằng tuy vậy tuy vậy. Đường trực tiếp này vuông góc với mặt mũi bằng này thì cũng vuông góc với mặt mũi bằng bại liệt.

\(\left. \begin{array}{l} a \bot (\alpha )\\ \left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \end{array} \right\} \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\)

• Hai mặt mũi bằng phân biệt nằm trong vuông góc với cùng một đường thẳng liền mạch thì tuy vậy song cùng nhau.

\(\left. \begin{array}{l} a \bot (\alpha )\\ a \bot \left( \beta \right)\\ \left( \alpha \right) \ne \left( \beta \right) \end{array} \right\} \Rightarrow \left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\)

c) Tính hóa học 3

• Cho đường thẳng liền mạch a và mặt mũi phẳng \(\left ( \alpha \right )\) song tuy vậy cùng nhau. Đường trực tiếp này vuông góc với \(\left ( \alpha \right )\) thì cũng vuông góc với a.

\(\left. \begin{array}{l} a//(\alpha )\\ b \bot \left( \alpha \right) \end{array} \right\} \Rightarrow b \bot a\)

• Nếu một đường thẳng liền mạch và một phía bằng nằm trong vuông góc với cùng một đường thẳng liền mạch không giống thì bọn chúng tuy vậy song cùng nhau.

\(\left. \begin{array}{l} a \bot b\\ b \bot \left( \alpha \right)\\ a \not\subset \left( \alpha \right) \end{array} \right\} \Rightarrow a//\left( \alpha \right)\)

5. Định lý tía đàng vuông góc

Cho đường thẳng liền mạch d ở trong mặt mũi phẳng \(\left ( \alpha \right )\) và b là đường thẳng liền mạch ko thuộc \(\left ( \alpha \right )\) đồng thời ko vuông góc với \(\left ( \alpha \right )\). Gọi b' là hình chiếu vuông góc của b trên \(\left ( \alpha \right )\). Kho bại liệt a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b'.

6. Góc thân ái đường thẳng liền mạch và mặt mũi phẳng

• Góc thân ái đường thẳng liền mạch d ko vuông góc với mặt mũi bằng \(\left ( \alpha \right )\) là góc thân ái d và hình chiếu d’ của chính nó bên trên mặt mũi bằng \(\left ( \alpha \right )\).

• Đặc biệt: Nếu d vuông góc với mặt mũi bằng \(\left ( \alpha \right )\) thì tớ bảo rằng góc thân ái đường thẳng liền mạch d và mặt mũi bằng \(\left ( \alpha \right )\) là 90⁰.

7. Bài tập dượt minh họa 

Ví dụ 1: 

Cho hình chóp  S.ABC với lòng ABC là tam giác vuông bên trên C, \(SA \bot (ABC).\)

a) Chứng minh rằng: \(BC \bot (SAC)\).

b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của A bên trên SC. Chứng minh rằng: \(AE \bot (SBC).\)

c) Gọi (P) là mặt mũi bằng qua loa AE và vuông góc với SB, (P) kí thác với SB bên trên D. Đường trực tiếp DE hạn chế BC bên trên F. Chứng minh rằng: \(AF \bot (SAB).\)

Lời giải:

a) Ta có: \(BC \bot AC(gt)\,\,({\rm{1}})\)

Mặt khác: \(\left. \begin{array}{l} SA \bot (ABC)\\ BC \subset (ABC) \end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot BC\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(BC \bot (SAB).\)

b) Ta có: \(AE \bot SC\,\,({\rm{3}})\,({\rm{gt}})\)

Theo câu a tớ có: 

\(BC \bot (SAB) \Rightarrow AE \bot BC\,\,({\rm{4}})\)

Từ (3), (4) suy ra: \(AE \bot (SBC).\)

c) Ta xuất hiện bằng (P) đó là mặt mũi bằng (ADE).

Từ \(\left. \begin{array}{l} SA \bot (ABC)\\ AF \subset (ABC) \end{array} \right\} \Rightarrow AF \bot SA\,\,{\rm{ (5)}}\)

Do \(SB \bot (ADE) \Rightarrow AF \bot SB\,{\rm{ (6)}}\).

Từ (5), (6) suy ra: \(AF \bot (SAB).\)

Ví dụ 2:

Cho hình chóp S.ABCD lòng ABCD là hình thang vuông bên trên A và B, \(SA \bot (ABCD)\), AD = 2a, AB = BC = a. Chứng minh rằng: Tam giác SCD vuông.

Lời giải:

Ta có: \(\left. \begin{array}{l} SA \bot (ABCD)\\ CD \subset (ABCD) \end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot CD\,(1)\)

Gọi I là trung điểm của AD. Tứ giác ABCI là hình vuông vắn.

Do bại liệt, \(\widehat {ACI} = {45^0}\) (*)

Mặt không giống tam giác CID vuông cân nặng bên trên I nên \(\widehat {BCI} = {45^0}\) (**)

Từ (*), (**) suy ra: 

\(\widehat {ACD} = {90^0}\) hay \(AC \bot CD (2)\).

Từ (1) và (2) suy ra: 

\(CD \bot (SAC) \Rightarrow CD \bot SC\).

Hay tam giác SCD vuông bên trên C.

Ví dụ 3:

Cho hình chóp S.ABCD lòng ABCD là hình vuông vắn cạnh a, SA vuông góc với mặt mũi bằng lòng, \(SA = a\sqrt 6\). Tính sin của góc giữa:

a) SC và (SAB).

b) AC và (SBC).

Lời giải:

a) Ta có: \(BC \bot AB\,\,{\rm{ (gt)}}\).

\(SA \bot BC\) (Vì \(SA \bot (ABCD)\))

Suy ra: \(BC \bot (SAB).\)

Do đó: SB là hình chiếu vuông góc của SC bên trên mặt mũi bằng (SAB).

\(\Rightarrow (SC,(SAB)) = \widehat {BSC}.\)

Ta có: \(\sin (SC,(SAB)) = \sin \widehat {BSC} \)

\(= \frac{{BC}}{{SC}} = \frac{a}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

b) Trong mặt mũi bằng (SAB) kẻ: 

\(AH \bot SB{\rm{ (H}} \in {\rm{SB)}}.\)

Theo câu a tớ có: 

\(BC \bot (SAB) \Rightarrow AH \bot BC\) 

Nên \(AH \bot (SBC)\) hay CH là hình chiếu vuông góc của AC bên trên mặt mũi bằng (SBC).

\(\Rightarrow (AC,(SBC)) = \widehat {ACH}.\)

Xét tam giác vuông SAB có: 

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{7}{{6{a^2}}} \)

\(\Rightarrow AH = a.\sqrt {\frac{6}{7}} .\)

Vậy: \(\sin (AC,(SBC)) = \sin \widehat {ACH} \)

\(= \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}.\) 

Xem thêm: Top 4 xe đạp trẻ em từ 6 - 11 tuổi Thống Nhất chất lượng tốt

1. Định nghĩa

Đường trực tiếp a được gọi là vuông góc với mặt mũi bằng (P) nếu a vuông góc với từng đường thẳng liền mạch a ở trong mặt mũi bằng (P). 

Kí hiệu: \(a \bot \left ( P.. \right )\)

Định nghĩa đường thẳng liền mạch vuông góc mặt mũi phẳng

\(a \bot (P) \Leftrightarrow a \bot c,\forall c \subset (P)\)

2. Định lý

Nếu đường thẳng liền mạch d vuông góc với hai tuyến phố trực tiếp hạn chế nhau a và b của mặt mũi bằng (P) thì \(d \bot \left ( P.. \right ).\)

Hệ quả: Nếu một đường thẳng liền mạch vuông góc với nhì cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh loại tía của tam giác bại liệt.

3. Các tính chất

Tính hóa học 1: Có một và duy nhất đàng mặt mũi bằng trải qua một điểm mang lại trước và vuông góc với cùng một đường thẳng liền mạch mang lại trước.

Tính hóa học 2: Có có một không hai một đường thẳng liền mạch trải qua một điểm mang lại trước và vuông góc với một phía bằng mang lại trước.

4. Liên hệ thân ái mối quan hệ tuy vậy song và mối quan hệ vuông góc thân ái đường thẳng liền mạch và mặt mũi phẳng

a) Tính hóa học 1

• Cho hai tuyến phố trực tiếp tuy vậy tuy vậy. Mặt bằng này vuông góc với đường thẳng liền mạch này thì cũng vuông góc với đường thẳng liền mạch bại liệt.

\(\left. \begin{array}{l} a//b\\ \left( \alpha \right) \bot a \end{array} \right\} \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot b\)

• Hai đường thẳng liền mạch phân biệt nằm trong vuông góc với một phía bằng thì tuy vậy song cùng nhau.

\(\left. \begin{array}{l} a \bot (\alpha )\\ b \bot (\alpha )\\ a \ne b \end{array} \right\} \Rightarrow a//b\)

b) Tính hóa học 2

• Cho nhì mặt mũi bằng tuy vậy tuy vậy. Đường trực tiếp này vuông góc với mặt mũi bằng này thì cũng vuông góc với mặt mũi bằng bại liệt.

\(\left. \begin{array}{l} a \bot (\alpha )\\ \left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \end{array} \right\} \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\)

• Hai mặt mũi bằng phân biệt nằm trong vuông góc với cùng một đường thẳng liền mạch thì tuy vậy song cùng nhau.

\(\left. \begin{array}{l} a \bot (\alpha )\\ a \bot \left( \beta \right)\\ \left( \alpha \right) \ne \left( \beta \right) \end{array} \right\} \Rightarrow \left( \alpha \right)//\left( \beta \right)\)

c) Tính hóa học 3

• Cho đường thẳng liền mạch a và mặt mũi phẳng \(\left ( \alpha \right )\) song tuy vậy cùng nhau. Đường trực tiếp này vuông góc với \(\left ( \alpha \right )\) thì cũng vuông góc với a.

\(\left. \begin{array}{l} a//(\alpha )\\ b \bot \left( \alpha \right) \end{array} \right\} \Rightarrow b \bot a\)

• Nếu một đường thẳng liền mạch và một phía bằng nằm trong vuông góc với cùng một đường thẳng liền mạch không giống thì bọn chúng tuy vậy song cùng nhau.

\(\left. \begin{array}{l} a \bot b\\ b \bot \left( \alpha \right)\\ a \not\subset \left( \alpha \right) \end{array} \right\} \Rightarrow a//\left( \alpha \right)\)

5. Định lý tía đàng vuông góc

Cho đường thẳng liền mạch d ở trong mặt mũi phẳng \(\left ( \alpha \right )\) và b là đường thẳng liền mạch ko thuộc \(\left ( \alpha \right )\) đồng thời ko vuông góc với \(\left ( \alpha \right )\). Gọi b' là hình chiếu vuông góc của b trên \(\left ( \alpha \right )\). Kho bại liệt a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b'.

6. Góc thân ái đường thẳng liền mạch và mặt mũi phẳng

• Góc thân ái đường thẳng liền mạch d ko vuông góc với mặt mũi bằng \(\left ( \alpha \right )\) là góc thân ái d và hình chiếu d’ của chính nó bên trên mặt mũi bằng \(\left ( \alpha \right )\).

• Đặc biệt: Nếu d vuông góc với mặt mũi bằng \(\left ( \alpha \right )\) thì tớ bảo rằng góc thân ái đường thẳng liền mạch d và mặt mũi bằng \(\left ( \alpha \right )\) là 90⁰.

7. Bài tập dượt minh họa 

Ví dụ 1: 

Cho hình chóp  S.ABC với lòng ABC là tam giác vuông bên trên C, \(SA \bot (ABC).\)

a) Chứng minh rằng: \(BC \bot (SAC)\).

b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của A bên trên SC. Chứng minh rằng: \(AE \bot (SBC).\)

c) Gọi (P) là mặt mũi bằng qua loa AE và vuông góc với SB, (P) kí thác với SB bên trên D. Đường trực tiếp DE hạn chế BC bên trên F. Chứng minh rằng: \(AF \bot (SAB).\)

Lời giải:

a) Ta có: \(BC \bot AC(gt)\,\,({\rm{1}})\)

Mặt khác: \(\left. \begin{array}{l} SA \bot (ABC)\\ BC \subset (ABC) \end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot BC\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(BC \bot (SAB).\)

b) Ta có: \(AE \bot SC\,\,({\rm{3}})\,({\rm{gt}})\)

Theo câu a tớ có: 

\(BC \bot (SAB) \Rightarrow AE \bot BC\,\,({\rm{4}})\)

Từ (3), (4) suy ra: \(AE \bot (SBC).\)

c) Ta xuất hiện bằng (P) đó là mặt mũi bằng (ADE).

Từ \(\left. \begin{array}{l} SA \bot (ABC)\\ AF \subset (ABC) \end{array} \right\} \Rightarrow AF \bot SA\,\,{\rm{ (5)}}\)

Do \(SB \bot (ADE) \Rightarrow AF \bot SB\,{\rm{ (6)}}\).

Từ (5), (6) suy ra: \(AF \bot (SAB).\)

Ví dụ 2:

Cho hình chóp S.ABCD lòng ABCD là hình thang vuông bên trên A và B, \(SA \bot (ABCD)\), AD = 2a, AB = BC = a. Chứng minh rằng: Tam giác SCD vuông.

Lời giải:

Ta có: \(\left. \begin{array}{l} SA \bot (ABCD)\\ CD \subset (ABCD) \end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot CD\,(1)\)

Gọi I là trung điểm của AD. Tứ giác ABCI là hình vuông vắn.

Do bại liệt, \(\widehat {ACI} = {45^0}\) (*)

Mặt không giống tam giác CID vuông cân nặng bên trên I nên \(\widehat {BCI} = {45^0}\) (**)

Từ (*), (**) suy ra: 

\(\widehat {ACD} = {90^0}\) hay \(AC \bot CD (2)\).

Từ (1) và (2) suy ra: 

\(CD \bot (SAC) \Rightarrow CD \bot SC\).

Hay tam giác SCD vuông bên trên C.

Ví dụ 3:

Cho hình chóp S.ABCD lòng ABCD là hình vuông vắn cạnh a, SA vuông góc với mặt mũi bằng lòng, \(SA = a\sqrt 6\). Tính sin của góc giữa:

a) SC và (SAB).

b) AC và (SBC).

Lời giải:

a) Ta có: \(BC \bot AB\,\,{\rm{ (gt)}}\).

\(SA \bot BC\) (Vì \(SA \bot (ABCD)\))

Suy ra: \(BC \bot (SAB).\)

Do đó: SB là hình chiếu vuông góc của SC bên trên mặt mũi bằng (SAB).

\(\Rightarrow (SC,(SAB)) = \widehat {BSC}.\)

Ta có: \(\sin (SC,(SAB)) = \sin \widehat {BSC} \)

\(= \frac{{BC}}{{SC}} = \frac{a}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

b) Trong mặt mũi bằng (SAB) kẻ: 

\(AH \bot SB{\rm{ (H}} \in {\rm{SB)}}.\)

Theo câu a tớ có: 

\(BC \bot (SAB) \Rightarrow AH \bot BC\) 

Nên \(AH \bot (SBC)\) hay CH là hình chiếu vuông góc của AC bên trên mặt mũi bằng (SBC).

\(\Rightarrow (AC,(SBC)) = \widehat {ACH}.\)

Xét tam giác vuông SAB có: 

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{7}{{6{a^2}}} \)

Xem thêm:

\(\Rightarrow AH = a.\sqrt {\frac{6}{7}} .\)

Vậy: \(\sin (AC,(SBC)) = \sin \widehat {ACH} \)

\(= \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}.\)