Dạng 2: Xét dấu các hệ số của hàm bậc ba, phân tích đồ thị hàm số. | Giải tích lớp 12

By Admin 28/03/2024 0

I.Phương pháp giải

Xét đồ dùng thị hàm số $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$.

a) Xác toan vệt của a

Bạn đang xem: Dạng 2: Xét dấu các hệ số của hàm bậc ba, phân tích đồ thị hàm số. | Giải tích lớp 12

Từ đồ dùng thị, tao tìm kiếm được số lượng giới hạn $L=\lim_{x\rightarrow +\infty }y$.Ta thấy:

$L=+\infty \Leftrightarrow a>0$.

$L=-\infty \Leftrightarrow a<0$.

b) Xác toan vệt của d 

Ta sở hữu M(0; d) là giao phó điểm của đồ dùng thị hàm số với trục tung. Ta có:

  • M ở phía bên trên trục hoành $\Leftrightarrow d> 0$.
  • M ở phía bên dưới trục hoành $\Leftrightarrow d<0$.
  • M phía trên trục hoành $\Leftrightarrow d=0$.

c) Xác toan vệt của b và c

Gọi thứu tự những điểm cực to và cực kỳ đái của hàm số là $x_{CD}$ và $x_{CT}$. Vì $x_{CD}$ và $x_{CT}$ là nghiệm của phương trình $y^{'}=3ax^{2}+2bx+c=0$ nên $\left\{\begin{matrix}x_{CD} + x_{CT}=\frac{-2b}{3a}\\x_{CD}.x_{CT}=\frac{c}{3a} \end{matrix}\right.$

Xác toan vệt của $x_{CD}.x_{CT}$ hoặc vệt của $\frac{c}{a}$ kể từ cơ tìm kiếm được vệt của c.

  • Nếu những điểm cực kỳ trị của đồ dùng thị ở về và một phía với trục tung thì $x_{CD}.x_{CT}$ > 0.
  • Nếu những điểm cực kỳ trị của đồ dùng thị ở về nhị phía với trục tung thì $x_{CD}.x_{CT}$ < 0.
  • Nếu một trong các nhị điểm cực kỳ trị nằm trong trục tung thì $x_{CD}.x_{CT}$ = 0.

Xác toan vệt của $x_{CD}+x_{CT}$ hoặc vệt của $\frac{-b}{a}$ kể từ cơ tìm kiếm được vệt của b.

  • Nếu những điểm cực kỳ trị của đồ dùng thị nằm sát nên trục tung hoặc nằm trong trục tung thì $x_{CD} + x_{CT} > 0$;
  • Nếu những điểm cực kỳ trị của đồ dùng thị nằm sát trái khoáy trục tung hoặc nằm trong trục tung thì $x_{CD} + x_{CT} < 0$;
  • Xét tình huống nhị điểm cực kỳ trị của đồ dùng thị ở về nhị phía trục tung. Khi cơ, nếu như điểm cực kỳ trị sở hữu hoành phỏng âm ngay gần trục tung hơn vậy thì $x_{CD} + x_{CT} > 0$, nếu như điểm cực kỳ trị sở hữu hoành phỏng dương ngay gần trục tung hơn vậy thì $x_{CD} + x_{CT} < 0$, nếu như nhị điểm cực kỳ trị cơ hội đều trục tung thì $x_{CD} + x_{CT} = 0.

II.Bài tập luyện vận dụng

Bài tập luyện 1: Hàm số $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ có đồ thị như hình mặt mũi. Xác định vệt của a, b, c, d.

Bài giải:

Ta thấy: $L=\lim_{x\rightarrow +\infty }y=-\infty $ do đó a < 0.

Xem thêm: Sinh năm 1997 mệnh gì? Hợp màu gì? Tính cách nam nữ - Xwatch

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm ở trê trục hoành nên d < 0.

Gọi thứu tự những điểm cực to và cực kỳ đái của hàm số là $x_{CD}$ và $x_{CT}$. Vì $x_{CD}$ và $x_{CT}$ là nghiệm của phương trình $y^{'}=3ax^{2}+2bx+c=0$ nên $\left\{\begin{matrix}x_{CD} + x_{CT}=\frac{-2b}{3a}\\x_{CD}.x_{CT}=\frac{c}{3a} \end{matrix}\right.$

Vì các điểm cực đại, cực kỳ đái của hàm số ở về nhị phía của Oy nên $x_{CD}.x_{CT}$ < 0 do đó a và c trái khoáy vệt, nên c > 0.

Vì nhập hai điểm cực kỳ trị, điểm sở hữu hoành độ âm ngay gần trục tung rộng lớn nên $x_{CD} + x_{CT}$ > 0. Do đó a, b trái khoáy vệt, nên b > 0.

Vậy a < 0; b > 0; c > 0; d < 0.

Bài tập luyện 2: Hàm số $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ có đồ thị như hình mặt mũi. Xác định vệt của a, b, c, d.

Bài giải:

Ta thấy: $L=\lim_{x\rightarrow +\infty }y=+\infty $ do đó a >0.

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm phía trên trục hoành nên d = 0.

Gọi thứu tự những điểm cực to và cực kỳ đái của hàm số là $x_{CD}$ và $x_{CT}$. Vì $x_{CD}$ và $x_{CT}$ là nghiệm của phương trình $y^{'}=3ax^{2}+2bx+c=0$ nên $\left\{\begin{matrix}x_{CD} + x_{CT}=\frac{-2b}{3a}\\x_{CD}.x_{CT}=\frac{c}{3a} \end{matrix}\right.$

Xem thêm: Top 19 Quán Cafe Đẹp Ở Hà Nội Có View Chụp Hình Sống Ảo | Nguyễn Kim | Nguyễn Kim Blog

Vì các điểm cực đại, cực kỳ đái của hàm số ở về nhị phía của Oy nên $x_{CD}.x_{CT}$ < 0 do đó a và c trái khoáy vệt, nên c > 0.

Vì hai điểm cưcj trị cách đều trục tung nên $x_{CD} + x_{CT}$ = 0. Do đó b = 0.

Vậy a > 0; b = 0; c < 0; d = 0.