Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Nhắc lại hệ thức lượng vô tam giác vuông.

Cho tam giác $ABC$ vuông góc bên trên đỉnh $A$ ($\widehat{A} = 90^0$), tớ có:

Bạn đang xem: Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác | SGK Toán lớp 10

1. ${b^2} = ab';{c^2} = a.c'$

2. Định lý Pitago : ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

3. $a.h = b.c$

4. $h^2= b’.c’$

5. $\dfrac{1}{h^{2}}$ = $\dfrac{1}{b^{2}}$ + $\dfrac{1}{c^{2}}$

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh vị tổng những bình phương của nhì cạnh sót lại trừ lên đường nhì thứ tự tích của nhì cạnh cơ nhân với $cosin$ của góc xen thân thích bọn chúng.

Ta với những hệ thức sau:

$$\eqalign{
& {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A \, \, (1) \cr
& {b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B \, \, (2) \cr
& {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C \, \, (3) \cr} $$

Hệ trái ngược của lăm le lí cosin:

$\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$\cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Áp dụng: Tính phỏng lâu năm lối trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác $ABC$ với những cạnh $BC = a, CA = b$ và $AB = c$. Gọi $m_a,m_b$ và $m_c$ là phỏng lâu năm những lối trung tuyến theo thứ tự vẽ kể từ những đỉnh $A, B, C$ của tam giác. Ta có

${m_{a}}^{2}$ = $\dfrac{2.(b^{2}+c^{2})-a^{2}}{4}$

${m_{b}}^{2}$ = $\dfrac{2.(a^{2}+c^{2})-b^{2}}{4}$

${m_{c}}^{2}$ = $\dfrac{2.(a^{2}+b^{2})-c^{2}}{4}$

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác $ABC$ ngẫu nhiên, tỉ số thân thích một cạnh và sin của góc đối lập với cạnh cơ vị 2 lần bán kính của lối tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác, nghĩa là

$\dfrac{a}{\sin A}= \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

với $R$ là nửa đường kính lối tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác

Xem thêm: Ý nghĩa lá bài The Hanged Man trong Tarot – Bộ Ẩn Chính

Công thức tính diện tích S tam giác

Diện tích $S$ của tam giác $ABC$ được xem theo dõi một trong số công thức sau

$S = \dfrac{1}{2} ab \sin C= \dfrac{1}{2} bc \sin A $ $= \dfrac{1}{2}ca \sin B \, \,(1)$

$S = \dfrac{abc}{4R}\, \,(2)$

$S = pr\, \,(3)$

$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$ (công thức Hê - rông) $(4)$

Trong đó:$BC = a, CA = b$ và $AB = c$; $R, r$ là nửa đường kính lối tròn xoe nước ngoài tiếp, bk lối tròn xoe nội tiếp và $S$ là diện tích S tam giác cơ.

3. Giải tam giác và phần mềm vô việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là đi kiếm những nhân tố (góc, cạnh) không biết của tam giác Khi tiếp tục biết một trong những nhân tố của tam giác cơ.

Muốn giải tam giác tớ cần thiết mò mẫm côn trùng tương tác trong những góc, cạnh tiếp tục cho tới với những góc, những cạnh không biết của tam giác trải qua những hệ thức đang được nêu vô lăm le lí cosin, lăm le lí sin và những công thức tính diện tích S tam giác.

Các vấn đề về giải tam giác: Có 3 vấn đề cơ phiên bản về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác lúc biết một cạnh và nhì góc.

=> Dùng lăm le lí sin nhằm tính cạnh sót lại.

b) Giải tam giác lúc biết nhì cạnh và góc xen giữa

=> Dùng lăm le lí cosin nhằm tính cạnh loại tía.

Sau cơ người sử dụng hệ trái ngược của lăm le lí cosin nhằm tính góc.

c) Giải tam giác lúc biết tía cạnh

Đối với vấn đề này tớ dùng hệ trái ngược của lăm le lí cosin nhằm tính góc:

$\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$cos C = \dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Chú ý:

Xem thêm: Sinh năm 2022 mệnh gì, màu gì? Tử vi người sinh năm 2022

1. Cần chú ý là 1 tam giác giải được Khi tớ biết 3 nhân tố của chính nó, vô cơ cần với tối thiểu một nhân tố phỏng lâu năm (tức là nhân tố góc ko được quá 2)

2. Việc giải tam giác được dùng vô những vấn đề thực tiễn, nhất là những vấn đề đo lường.