[Vted.vn] - Thể tích khối chóp cụt và ứng dụng | Học toán online chất lượng cao 2024 | Vted

Bài ghi chép này Vted trình diễn và ra mắt cho tới độc giả Công thức tính thể tích của một khối chóp cụt và một vài ví dụ minh hoạ. Công thức này được cho phép tính thể tích một vài khối nhiều diện cường độ áp dụng, áp dụng cao.

Hình chóp cụt

Bạn đang xem: [Vted.vn] - Thể tích khối chóp cụt và ứng dụng | Học toán online chất lượng cao 2024 | Vted

Cho hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}.$ Một mặt mũi bằng phẳng ko trải qua $S$ và tuy vậy song với mặt mũi bằng phẳng lòng, tách những cạnh $S{{A}_{1}},S{{A}_{2}},...,S{{A}_{n}}$ ứng bên trên ${{B}_{1}},{{B}_{2}},...,{{B}_{n}}.$

+ Hình bao gồm những nhiều giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}},{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}$ và những hình thang ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{B}_{2}}{{B}_{1}},{{A}_{2}}{{A}_{3}}{{B}_{3}}{{B}_{2}},...,{{A}_{n}}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{B}_{n}}$ được gọi là 1 trong những hình chóp cụt, kí hiệu là ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}.{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}.$

Một cơ hội giản dị và đơn giản, hình chóp cụt được tạo ra trở nên kể từ hình chóp $S.{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ sau khoản thời gian tách lên đường hình chóp $S.{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}.$

+ Các nhiều giác ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}},{{B}_{1}}{{B}_{2}}...{{B}_{n}}$ được gọi là nhị mặt mũi lòng, những hình thang ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{B}_{2}}{{B}_{1}},{{A}_{2}}{{A}_{3}}{{B}_{3}}{{B}_{2}},...,{{A}_{n}}{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{B}_{n}}$ được gọi là những mặt mũi mặt mũi. Các đoạn trực tiếp ${{A}_{1}}{{B}_{1}},{{A}_{2}}{{B}_{2}},...,{{A}_{n}}{{B}_{n}}$ được gọi là những cạnh mặt mũi, những cạnh của mặt mũi lòng được gọi là những cạnh lòng.

+ Khoảng cơ hội thân thuộc nhị mặt mũi lòng được gọi là độ cao của hình chóp cụt.

Hình chóp cụt đều

Hình chóp cụt đều là hình chóp cụt đem nhị lòng là những nhiều giác đều và phỏng lâu năm những cạnh mặt mũi đều nhau.

Thể tích của khối chóp cụt

Khi tách khối chóp vì chưng một phía bằng phẳng tuy vậy song với lòng thì mặt mũi bằng phẳng tê liệt phân chia khối chóp vẫn cho tới trở nên nhị khối nhiều diện, khối bên trên là khối chóp và khối bên dưới được gọi là khối chóp cụt.

Thể tích của khối chóp cụt đem diện tích S nhị lòng theo thứ tự là ${{S}_{1}},{{S}_{2}}$ và độ cao vì chưng $h$ (khoảng cơ hội thân thuộc nhị đáy) là \[V=\dfrac{h({{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}})}{3}.\]

Xem thêm Công thức tính thể tích, diện tích S xung xung quanh, diện tích S toàn phần của khối nón cụt

Video bài bác giảng: Thể tích khối chóp cụt và ứng dụng

>>Xem thêm Công thức tổng quát lác tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và những tình huống đặc biệt

Combo X Luyện ganh đua 2024 Môn Toán (THPT, ĐG năng lượng, ĐG tư duy) (2K6)

Link đăng ký: https://bit.ly/3Xd5EA5

PRO X: Luyện ganh đua trung học phổ thông 2024 Môn Toán (Luyện từng dạng bài bác kể từ cơ bạn dạng cho tới 9 điểm)

XMAX: Luyện từng dạng bài bác áp dụng cao Môn Toán 2024 (Mức 9+)

LIVE X: Tổng ôn kiến thức và kỹ năng và chữa trị đề Dự kiến 2024 Môn Toán (100 ngày)

XPLUS: Luyện giải đề ganh đua trung học phổ thông 2024 Môn Toán

Các khoá học tập được dùng Tính từ lúc ngày đăng kí cho tới Khi kì ganh đua trung học phổ thông 2024 kết đốc.

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ đem toàn bộ những cạnh vì chưng $a.$ Gọi $M,\text{ }N$ theo thứ tự là trung điểm của cạnh $AB$ và ${B}'{C}'.$ Mặt bằng phẳng $\left( {A}'MN \right)$ tách cạnh $BC$ bên trên $P.$ Tính thể tích $V$ của khối nhiều diện $MBP.{A}'{B}'N.$

Giải. Gọi $S$ là phó điểm của ${A}'M$ và $B{B}'$, Khi tê liệt $P$ là phó điểm $SN$ và $BC.$Ta đem $\dfrac{MP}{{A}'N}=\dfrac{BP}{{B}'N}=\dfrac{BM}{{A}'{B}'}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \Delta MBP$ đồng dạng với $\Delta {A}'{B}'N$ theo đòi tỷ số vì chưng $\dfrac{1}{2}.$

Khối nhiều diện $MBP.{A}'{B}'N$ là khối chóp cụt đem độ cao $h=B{B}'=a$ và diện tích S hoặc lòng là ${{S}_{1}}={{S}_{{A}'{B}'N}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8},{{S}_{2}}={{S}_{MBP}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{{A}'{B}'N}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{32}.$

Vậy ${{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}=\dfrac{h}{3}\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}} \right)=\dfrac{a}{3}\left( \dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}+\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{32}+\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{32}} \right)=\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{96}.$

Chọn đáp án B.

Các em xem xét lại Bài giảng Thể tích khối chóp cụt và phần mềm khoá PRO X.

Cách 2: Ta đem $\dfrac{{{V}_{SMBP}}}{{{V}_{S{A}'{B}'N}}}=\dfrac{SM}{S{A}'}.\dfrac{SB}{S{B}'}.\dfrac{SP}{SN}={{\left( \dfrac{SB}{S{B}'} \right)}^{3}}=\dfrac{1}{8}$$\Rightarrow {{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}=\dfrac{7}{8}{{V}_{S{A}'{B}'N}}.$

Ta đem ${{V}_{S{A}'{B}'N}}=\dfrac{1}{3}S{B}'.{{S}_{\Delta {A}'{B}'N}}$$=\dfrac{1}{3}S{B}'.\dfrac{1}{2}{A}'{B}'.{B}'N\sin 60{}^\circ $$=\dfrac{1}{6}2a.a.\dfrac{a}{2}\sin 60{}^\circ $$=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.

$\Rightarrow {{V}_{MBP.{A}'{B}'N}}=\dfrac{7}{8}{{V}_{S{A}'{B}'N}}=\dfrac{7{{a}^{3}}\sqrt{3}}{96}$.

Chọn đáp án B.

Các em xem xét lại Bài giảng Tỷ số Thể tích khoá PRO X.

Xem thêm: Top 4 xe đạp trẻ em từ 6 - 11 tuổi Thống Nhất chất lượng tốt

Ví dụ 2: Cho một thau nước hình chóp cụt đều (hình vẽ) đem độ cao vì chưng $3dm,$ lòng là lục giác đều, phỏng lâu năm cạnh lòng rộng lớn vì chưng $2dm$ và phỏng lâu năm cạnh lòng nhỏ vì chưng $1dm.$ Tính thể tích của chậu nước

Giải. Diện tích lòng của chậu vì chưng ${{S}_{1}}=6\left( \dfrac{{{2}^{2}}\sqrt{3}}{4} \right)=6\sqrt{3},{{S}_{2}}=6\left( \dfrac{{{1}^{2}}\sqrt{3}}{4} \right)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}.$

Chiều cao của chậu vì chưng $h=3.$

Thể tích của chậu vì chưng ${{V}_{0}}=\dfrac{h}{3}\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}} \right)=\dfrac{3}{3}\left( 6\sqrt{3}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\sqrt{6\sqrt{3}\dfrac{3\sqrt{3}}{2}} \right)=\dfrac{21\sqrt{3}}{2}d{{m}^{3}}.$ Chọn đáp án A.

Note: Diện tích lục giác đều cấp 6 đợt diện tích S tam giác đều phải sở hữu nằm trong phỏng lâu năm cạnh.

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ đem lòng là tam giác đều cạnh $a,A{A}'=2a.$ Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm những cạnh $A{A}',B{B}'$ và $G$ là trọng tâm tam giác $ABC.$ Mặt bằng phẳng $(MNG)$ tách $CA,CB$ theo thứ tự bên trên $E,F.$ Thể tích của khối nhiều diện đem sáu đỉnh $A,B,M,N,E,F$ bằng

Giải. Do $MN//(ABC)\Rightarrow (MNG)\cap (ABC)=EF//AB.$ Gọi $P$ là trung điểm $C{C}'.$ Ta đem $MNP.EFC$ là 1 trong những chóp cụt.

$\begin{gathered} {V_{ABNMEF}} = {V_{ABC.MNP}} - {V_{MNP.EFC}} = \dfrac{1}{2}{V_{ABC.A'B'C'}} - \dfrac{{CP}}{3}\left( {{S_{MNP}} + {S_{EFC}} + \sqrt {{S_{MNP}}{S_{EFC}}} } \right) \\ = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}} \right)\left( {2a} \right) - \dfrac{a}{3}\left( {\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4} + {{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^2}\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4} + \sqrt {\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^2}\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}} } \right) = \dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{{27}}. \\ \end{gathered} $

Trong tê liệt ${{S}_{MNP}}={{S}_{ABC}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}};\dfrac{CE}{CA}=\dfrac{CF}{CB}=\dfrac{CG}{CI}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \Delta CEF\backsim \Delta CAB$ tỉ số $\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{S}_{CEF}}={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}{{S}_{CAB}}={{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{2}}.$

Hoặc \[{{S}_{CEF}}=\dfrac{1}{2}CE.CF.\sin \widehat{ECF}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2a}{3}.\dfrac{2a}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{9}.\] Chọn đáp án D.

Ví dụ 4: Cho lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ hoàn toàn có thể tích vì chưng $24$. Gọi $M\,,\ N$ và $P$ theo thứ tự là những điểm phía trên những cạnh ${A}'{B}'\,,\,\ {B}'{C}'$ và $BC$ sao cho tới $M$ là trung điểm của ${A}'{B}'$, ${B}'N=\dfrac{3}{4}{B}'{C}'$ và $BP=\dfrac{1}{4}BC.$ Đường trực tiếp $NP$ tách đường thẳng liền mạch $B{B}'$ bên trên $E$ và đường thẳng liền mạch $EM$ tách đường thẳng liền mạch $AB$ bên trên $Q.$ Thể tích của khối nhiều diện lồi $AQPC{A}'MN{C}'$ bằng

Giải. Đặt $S,h$ theo thứ tự là diện tích S lòng và độ cao của lăng trụ vẫn cho tới tao đem $S.h=24$ và

${{V}_{AQPC{A}'MN{C}'}}={{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}-{{V}_{BPQ.{B}'NM}}.$ Trong số đó $BPQ.{B}'NM$ là chóp cụt đem độ cao $h.$

Ta đem $\dfrac{EB}{E{B}'}=\dfrac{EP}{EN}=\dfrac{EQ}{EM}=\dfrac{BP}{{B}'N}=\dfrac{BQ}{{B}'M}=\dfrac{PQ}{NM}=\dfrac{1}{3}.$ Do tê liệt nhị tam giác $\Delta BPQ\backsim \Delta {B}'NM$ theo đòi tỷ số $k=\dfrac{1}{3}.$

Suy đi ra ${{S}_{{B}'NM}}=\dfrac{{B}'N}{{B}'{C}'}\times \dfrac{{B}'M}{{B}'{A}'}S=\dfrac{3}{4}.\dfrac{1}{2}S=\dfrac{3}{8}S;{{S}_{BPQ}}={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{2}}{{S}_{{B}'NM}}=\dfrac{1}{24}S.$

Vì vậy ${{V}_{BPQ.{B}'NM}}=\dfrac{h}{3}\left( \dfrac{3}{8}S+\dfrac{1}{24}S+\sqrt{\dfrac{3}{8}S\times \dfrac{1}{24}S} \right)=\dfrac{13}{72}S.h=\dfrac{13}{72}\times 24=\dfrac{13}{3}\Rightarrow {{V}_{AQPC{A}'MN{C}'}}=24-\dfrac{13}{3}=\dfrac{59}{3}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 5: Cho khối lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ đem lòng $ABC$ là tam giác vuông cân nặng bên trên $C,AB=2a$ và góc tạo ra vì chưng nhị mặt mũi bằng phẳng $(AB{C}')$ và $(ABC)$ vì chưng $60{}^\circ .$ Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của ${A}'{C}'$ và $BC.$ Mặt bằng phẳng $(AMN)$ phân chia khối lăng trụ vẫn cho tới trở nên nhị khối nhiều diện. Khối nhiều diện hoàn toàn có thể tích nhỏ rộng lớn bằng

Giải. Gọi $E$ là trung điểm $AB \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AB \bot CC'\\ AB \bot CE \end{array} \right. \Rightarrow AB \bot (CEC') \Rightarrow \widehat {C'EC} = \left( {(ABC'),(ABC)} \right) = {60^0} \Rightarrow CC' = CE\sqrt 3 = a\sqrt 3 .$

Vì $(ABC)//({A}'{B}'{C}')\Rightarrow (AMN)\cap ({A}'{B}'{C}')=MQ//AN.$

Khối nhiều diện $ANC.MQ{C}'$ hoàn toàn có thể tích nhỏ rộng lớn và tà tà khối chóp cụt đem ${{S}_{1}}={{S}_{ANC}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}{{a}^{2}},{{S}_{2}}={{S}_{MQ{C}'}}=\dfrac{1}{4}{{S}_{ANC}}=\dfrac{1}{8}{{a}^{2}};h=C{C}'=\sqrt{3}a.$

Vì vậy ${{V}_{ANC.MQ{C}'}}=\dfrac{h}{3}\left( {{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}} \right)=\dfrac{\sqrt{3}a}{3}\left( \dfrac{1}{2}{{a}^{2}}+\dfrac{1}{8}{{a}^{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}\dfrac{1}{8}{{a}^{2}}} \right)=\dfrac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}.$ Chọn đáp án A.
Xem tăng Công thức tổng quát lác tính nửa đường kính mặt mũi cầu nước ngoài tiếp khối tứ diện và những tình huống đặc biệt

Câu chất vấn tự động luyện: Cho khối lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có tính lâu năm cạnh vì chưng $a.$ Mặt bằng phẳng chứa chấp đường thẳng liền mạch $C{D}'$ tạo ra với mặt mũi bằng phẳng $\left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right)$ góc $\alpha $ với $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ phân chia khối lập phương trở nên nhị khối nhiều diện hoàn toàn có thể tích ${{V}_{1}},{{V}_{2}}\text{ }\left( {{V}_{1}}>{{V}_{2}} \right).$ Khi tê liệt ${{V}_{1}}$ bằng