Bài 6: Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình trụ

I. Lý thuyết
Cho hình trụ đem độ cao h, nửa đường kính lòng là R.
\(S_{xq}=2\pi .R.h\)
\(S_{tp}=2\pi .R.h+2\pi R^2\)

II. Bài tập
Ví dụ 1: Tính diện tích S xung xung quanh, diện tích S toàn phần của hình trụ, đem độh lâu năm lối tròn trặn lòng là 8 centimet, khoảng cách thân thuộc 2 lòng là 5 centimet.

Bạn đang xem: Bài 6: Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình trụ

Giải
\(2R=8cm\Rightarrow R=4cm\)
Chiều cao h vị khoảng cách thân thuộc nhì lòng vị 5 cm
\(S_{xq}=2\pi .R.h=2\pi .4.5=40\pi (cm^2)\)
\(S_{tp}=2\pi .R.h+2\pi R^2=40\pi+2 \pi.4^2=72\pi (cm^2)\)
Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD, đem AB=3cm, AD = 4cm. Tính S_xq, S_tp của hình trụ tạo ra trở nên khi mang lại lối cấp khúc.
a) ABCD xoay quanh AB
b) BADC xoay quanh BC.
Giải

a) 
Khi mang lại lối cấp khúc ADCB xoay quanh AB tao được hình trụ đem độ cao h₁ = AB = 3 (cm)
Bán kính hình tròn trụ lòng là R₁ = 4 cm
\(S_{xq}=2\pi .R_1.h_1=2\pi .4.3=24\pi (cm^2)\)

\(S_{tp}=2\pi .R_1.h_1+2\pi R_1^2=24\pi+32 \pi=56\pi (cm^2)\)
b)
Khi mang lại lối cấp khúc BADC xoay quanh BC tao được hình trụ đem chiều cao \(h_2=BC=AD=4(cm)\)
bán kính hình tròn trụ đáy \(R_2=AB=3(cm)\)

\(S_{xq}=2\pi .R_2.h_2=2\pi .3.4=24\pi (cm^2)\)

Xem thêm: Chân váy A

\(S_{tp}=2\pi .R_2.h_2+2\pi R_2^2=24\pi+18 \pi=42\pi (cm^2)\)
Nhận xét: Cho hình chữ nhật ABCD đem AB = k.AD.
Gọi S₁, S₂ l³ diện tích S xung xung quanh của hình trụ tạo ra trở nên khi mang lại lối cấp khúc ADCB xoay quanh AB, BADC xoay quanh BC. Tính \(\frac{S_1}{S_2}\)

Xem thêm: Qu%e1%ba%a7n B%c3%b2 %e1%bb%91ng R%e1%bb%99ng H%c3%a0n Qu%e1%bb%91c: Nơi bán giá rẻ, uy tín, chất lượng nhất | Websosanh

Giải
\(\frac{S_1}{S_2}=\frac{2\pi AD.AB+2\pi AD^2}{2\pi AB.AD+2\pi AB^2}\)
\(=\frac{2\pi .k.AD^2+2\pi AD^2}{2\pi .k.AD+2\pi.k.AD^2}=\frac{k+1}{k+k^2}=\frac{1}{k}\)

Ví dụ 3: Cho vỏ hộp hình trụ rất có thể tích là V. Tìm nửa đường kính nhằm vật liệu dùng để làm vỏ vỏ hộp là tối thiểu.
Giải
Gọi nửa đường kính hình trụ là R, độ cao h, tao có:
\(V=\pi .R^2.h\Rightarrow h=\frac{V}{\pi.R^2 }\)
\(S_{tp}=2\pi .R.h+2\pi R^2=2\pi R.\frac{V}{\pi R^2}+2\pi R^2\)
\(=\frac{2V}{R}+2\pi R^2=f(R)\)
\(f'(R)=-\frac{2V}{R^2}+4\pi R\)
\(f'(R)=0\Leftrightarrow 4\pi R^3=2V\)
\(\Leftrightarrow R^3=\frac{V}{2\pi }\Leftrightarrow R=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}\)

\(f(R)_{min}=f\left (\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }} \right )\)
\(S_{tp_{min}}\Leftrightarrow R=\left (\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }} \right )\)
Cách 2:
\(S_{tp}=\frac{V}{R}+\frac{V}{R}+2\pi R^2\geq 3.\sqrt[3]{\frac{V}{R}.\frac{V}{R}.2\pi R^2} =3.\sqrt[3]{2\pi .R^2}\)
\(S_{tp_{min}}=3.\sqrt[3]{2\pi .R^2}\Leftrightarrow \frac{V}{R}=2\pi .R^2 \Leftrightarrow R=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}\)