Kỹ thuật nhân liên hợp

By Admin 29/03/2024 0

  • 1. vn to an . PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯ NG LIÊN H P GI I CÁC BÀI TOÁN V PHƯƠNG TRÌNH VÔ T Lê Phúc Lữ12 1 uy en Phương pháp nhân lượng phối hợp là một trong những cơ hội giải không xa lạ được vận dụng không hề ít trong các việc giải phương trình và hệ phương trình vô tỉ. Cách giải giản dị và đơn giản và hiệu suất cao này không những tạo điều kiện cho ta tiếp cận việc theo phía bất ngờ rộng lớn tuy nhiên còn khiến cho tớ tự động tạo nên được nhiều việc mới mẻ mẻ một cơ hội đơn giản, trải qua bại rất có thể tự động tập luyện thêm thắt những kỹ năng cho bản thân. Trong nội dung bài viết này, tất cả chúng ta tiếp tục nằm trong dò thám làm rõ rộng lớn về cách thức nhân lượng liên hợp ý cũng tựa như các vấn đề cần lưu ý khi vận dụng nó. Kiến thức chú ý và một số trong những việc phanh đầu 1.1 Kiến thức cần thiết nhớ nl Ở công tác trung học cơ sở, tất cả chúng ta đã tương đối không xa lạ với những việc về chuyển đổi biểu thức vô tỉ bằng phương pháp người sử dụng đại lượng tương thích nhằm khử căn nhằm mục đích thực hiện xuất hiện nay nhân tử. Điều đó được triển khai nhờ những hằng đẳng thức cơ phiên bản sau3 : /o • a2 − b2 = (a − b)(a + b) ⇔ a − b = a2 − b 2 . a+b • a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) ⇔ a − b = a3 − b 3 . a2 + ab + b2 • ··· :/ • a4 − b4 = (a − b)(a + b)(a2 + b2 ) ⇔ a − b = a4 − b 4 . (a + b)(a2 + b2 ) tp • an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + abn−2 + bn−1 ). Sử dụng phát minh này, trong những việc về phương trình và hệ phương trình, tất cả chúng ta đem thể nhóm hoặc thêm thắt bớt những đại lượng tương thích nhập những biểu thức chứa chấp căn rồi thực hiện xuất hiện nay các đa thức. Nhờ việc phân tách những nhiều thức bại trở thành nhân tử thực hiện xuất xuất hiện quá số công cộng, ta 1 ht Sinh viên ngôi trường Đại học tập FPT, thành phố Hồ Chí Minh Xì Gòn. Nickname chienthan ở Diễn đàn Cùng nhau vượt Đại dương http://onluyentoan.vn. 2 Bài ghi chép được trình diễn lại vị công tác biên soạn thảo LaTeX vị can_hang2007. Đề nghị chúng ta ghi rõ nguồn của http://onluyentoan.vn khi đăng lên bên trên những trang web không giống. 3 Ở phía trên tớ tạm thời hiểu là những biểu thức tiếp tục thỏa mãn nhu cầu ĐK của phép tắc phân chia. 1

    • Bạn đang xem: Kỹ thuật nhân liên hợp

  • 2. Lê Phúc Lữ 2 .v n đưa việc tiếp tục cho tới về những phương trình tích không xa lạ và kể từ bại xử lý tiếp. Tất nhiên là có nhiều nhân tố không giống cần thiết lưu ý tuy nhiên với những việc thường thì thì phát minh tổng quát lác là: Giả sử nhập phương trình, hệ phương trình cần thiết xét, tất cả chúng ta đem biểu thức dạng P.. (x) với P (x) là một trong những nhiều thức này bại. bằng phẳng cơ hội nhẩm nghiệm, tớ tìm ra x = a là một trong những nghiệm của nó. Khi bại, tớ tiếp tục thêm nữa biểu thức bên trên đại lượng − P.. (a) để sở hữu được chuyển đổi sau P (x) − P (x) − P.. (a) P (x) + P (a) . to an P (a) = Đa thức P.. (x) − P.. (a) phía trên tử rõ nét rất có thể phân tách trở thành (x − a)G(x) nên sau thời điểm làm các việc làm thêm thắt bớt tương tự động nhập những đại lượng sót lại, tất cả chúng ta sẽ có được được tức thì nhân tử cần thiết dò thám. Như thế, tổng quát lác rộng lớn, nếu như tớ đem phương trình dạng f (x) = 0 với f (x) xác lập bên trên miền D và tớ tiếp tục biết nó đem nghiệm là x = a ∈ D thì tớ rất có thể chuyển đổi trả nó về dạng (x − a)g(x) = 0 và quy về xử lý phương trình mới mẻ g(x) = 0. 1.2 Các ví dụ minh họa uy en Trong nhiều tình huống thì g(x) tiếp tục vô nghiệm bên trên D, tuy vậy một số trong những tình huống không giống thì nó tiếp tục vẫn còn đấy nghiệm nữa và vấn đề này yên cầu rất nhiều cách xử lý tương thích. Ví dụ 1. Giải phương trình sau: √ √ √ √ √ x + 1 + x + 4 + x + 9 + x + 16 = x + 100. nl Lời giải. Điều kiện: x −1. Ta thấy x = 0 là một trong những nghiệm của phương trình nên rất có thể tiến hành chuyển đổi như sau √ √ √ √ √ x+1−1 + x+4−2 + x+9−3 + x + 16 − 4 = x + 100 − 10 :/ Xét phương trình: /o (x + 1) − 12 (x + 4) − 22 (x + 9) − 32 (x + 16) − 42 (x + 100) − 102 ⇔ √ + √ + √ + √ = √ x+1+1 x+4+2 x+9+3 x + 16 + 4 x + 100 + 10 x x x x x +√ +√ +√ =√ ⇔√ x+1+1 x+4+2 x+9+3 x + 16 + 4 x + 100 + 10  x=0  1 1 1 1 1 ⇔ √ +√ +√ +√ =√ x+1+1 x+4+2 x+9+3 x + 16 + 4 x + 100 + 10 1 1 1 1 1 +√ +√ +√ =√ . x+1+1 x+4+2 x+9+3 x + 16 + 4 x + 100 + 10 √ √ Ta đem x + 100 + 10 > x + 1 + 1 > 0 nên suy ra tp √ √ 1 1 >√ , x+1+1 x + 100 + 10 1 1 1 1 1 √ +√ +√ +√ >√ , x+1+1 x+4+2 x+9+3 x + 16 + 4 x + 100 + 10 ht (1) ∀x −1 và vì thế phương trình (1) vô nghiệm. Vậy phương trình tiếp tục cho tới đem nghiệm độc nhất x = 0.

  • 3. Ví dụ 2. Giải những phương trình sau: √ √ (a) 3 x + x + 3 = 3; √ 3 2x + 1 + √ 3 x = 1. −3. Phương trình tiếp tục cho tới tương tự với ye nt oa n. Lời giải. (a) Điều khiếu nại xác định: x (b) 3 vn Phương pháp nhân lượng phối hợp giải những việc về phương trình vô tỉ √ √ x−1 x−1 3 x−1 + x+3−2 =0⇔ √ +√ =0 √ 3 3 x+3+2 x2 + x + 1  x−1=0 1 1 1 1 +√ =0⇔ ⇔ (x − 1) √ √ 3 √ +√ =0 √ x+3+2 x2 + 3 x + 1 3 3 x+3+2 x2 + x + 1 Từ phía trên, tớ thấy x = một là một nghiệm của phương trình. Xét x = 1, khi bại theo đòi những chuyển đổi ở trên, tớ có 1 1 √ +√ = 0. √ 3 2+ 3 x+1 x+3+2 x √ Tuy nhiên, điều này sẽ không thể xẩy ra tự x + 3 + 2 > 0 và √ 3 x2 + √ 3 x+1= √ 1 3 x+ 2 2 + 3 > 0. 4 Vậy phương trình tiếp tục cho tới mang trong mình một nghiệm độc nhất x = 1. √ 3 ⇔ 3 /o nl u (b) Phương trình tiếp tục cho tới tương tự với √ 3 x=0⇔ √ (2x + 1) − 1 + 3x=0 √ 3 (2x + 1)2 + 3 2x + 1 + 1   √ 3 2 √ √ 2x 2 x + 3 x = 0 ⇔ 3 x + 1 = 0 √ √ 2 2 3 3 3 (2x + 1) + 2x + 1 + 1 (2x + 1) + 2x + 1 + 1  x=0 √  3 2 x2 ⇔  +1=0 √ 2 3 3 (2x + 1) + 2x + 1 + 1 √ 3 2 x2 + 1 > 0, √ 2 3 (2x + 1) + 2x + 1 + 1 tp :/ Dễ thấy 2x + 1 − 1 + 3 ∀x ∈ R nên kể từ bên trên, tớ suy đi ra x = 0 là nghiệm độc nhất của phương trình tiếp tục cho tới. Ví dụ 3. Tìm toàn bộ những nghiệm thực của phương trình sau: √ √ √ 3 x2 + 15 = 3 x2 + x2 + 8 − 2. ht Lời giải. Phương trình tiếp tục cho tới tương tự với √ √ √ 3 x2 + 15 − 4 = 3 x2 − 1 + x2 + 8 − 3 ⇔√ x2 − 1 3(x2 − 1) x2 − 1 √ = √ +√ . 3 3 x2 + 15 + 4 x2 + 8 + 3 x4 + x2 + 1

  • 4. vn Lê Phúc Lữ 4 Như vậy, tớ đem x2 = 1 hoặc 1 3 1 √ = √ +√ . 3 2+8+3 4 + 3 x2 + 1 + 15 + 4 x x √ √ Tuy nhiên, tự x2 + 8 + 3 < x2 + 15 + 4 nên tớ có x2 √ ye nt oa n. √ 1 1 <√ , x2 + 15 + 4 x2 + 8 + 3 và vì thế kỹ năng loại nhì ko thể xẩy ra. Từ phía trên tớ chiếm được x2 = 1 hoặc x = ±1. Tóm lại, phương trình tiếp tục cho tới đem toàn bộ nhì nghiệm là x = −1 và x = 1. 2 Các việc vận dụng và những vấn đề cần chú ý Trong phần này, tất cả chúng ta tiếp tục nằm trong dò thám hiểu thêm thắt những việc minh họa không giống thể hiện nay rõ ràng hơn ứng dụng của cách thức. /o nl u Ví dụ 4. Giải những phương trình sau: √ √ (Đề kiến nghị Olympic 30/4) (a) 3 x2 − 1 + x = x3 − 2; √ (Đề đua Olympic 30/4, 2009) (b) x3 + 3x2 − 3 3 3x + 5 = 1 − 3x. √ 3 Lời giải. (a) Điều kiện: x 2. Phương trình tiếp tục cho tới tương tự với √ √ 3 x2 − 1 − 2 + (x − 3) = x3 − 2 − 5 ⇔ (x − 3) 1 +   ⇔ Xét phương trình: 3 x+3 (x − 3)(x2 + 3x + 9) √ = √ x3 − 2 + 5 (x2 − 1)2 + 2 3 x2 − 1 + 4 x=3 1+ 3 x+3 x2 + 3x + 9 =√ . √ x3 − 2 + 5 (x2 − 1)2 + 2 3 x2 − 1 + 4 tp :/ 1+ 3 x+3 x2 + 3x + 9 =√ √ x3 − 2 + 5 (x2 − 1)2 + 2 3 x2 − 1 + 4 (1) Ta đem những review sau: x2 + 3x + 9 x2 + 3x + 9 • VP = √ > √ x3 − 2 + 5 x3 + 5 • VT <1+ x+3 3 (x2 − 1)2 +4 =1+ x2 + 3x + 9 2(2x − 1) =2+ 2 > 2. x2 +x x + x + 10 +5 2 x+3 3 (x − 1)2 (x + 1)2 +4 <1+ x+3 3 (x − 1)3 + 4 = 2. ht √ 3 Do bại, với từng x 2, tớ đem V T < 2 < V P.., hoặc trình bày cách thứ hai, (1) vô nghiệm. Vậy phương trình tiếp tục cho tới đem nghiệm độc nhất x = 3.

    • Xem thêm: Báo VietnamNet

  • 5. Phương pháp nhân lượng phối hợp giải những việc về phương trình vô tỉ vn 5 (b) Tại bài xích này, tất cả chúng ta đem nhì cơ hội giải như sau: Cách 1. Phương trình tiếp tục cho tới tương tự với √ √ x3 + 3x2 + 3x − 1 − 3 3 3x + 5 = 0 ⇔ (x3 + 3x2 + 3x − 7) + 3 2 − 3 3x + 5 = 0 ye nt oa n. 9(1 − x) ⇔ (x − 1)(x2 + 4x + 7) + √ 3 3 4 + 2 3x + 5 +  =0 (3x + 5) 2  ⇔ (x − 1) x2 + 4x + 7 − 9 √ 3 4 + 2 3x + 5 + 3 (3x + 5) 2  = 0. Ta thấy x = một là một nghiệm của phương trình. Xét x = 1, khi bại tớ có x2 + 4x + 7 = 9 √ 3 4 + 2 3x + 5 + hay , 3 (3x + 5)2 Ta tiếp tục bệnh minh Thật vậy, tớ có 3 (3x + 5)2 = 9. √ (x2 + 4x + 7) 4 + 2 3 3x + 5 + 3 (3x + 5)2 /o nl u √ (x2 + 4x + 7) 4 + 2 3 3x + 5 + √ (x2 + 4x + 7) 4 + 2 3 3x + 5 + 3 (3x + 5)2 = (x + 2)2 + 3 (1) 9. √ 3 2 3x + 5 + 1 +3 9 và đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x+2=0 √ ⇔ x = −2. 3 3x + 5 + 1 = 0 Từ phía trên tớ suy đi ra (1) đem nghiệm độc nhất x = −2. Vậy phương trình tiếp tục cho tới đem toàn bộ hai nghiệm là x = 1 và x = −2. tp :/ Cách 2. Ta tiếp tục chuyển đổi phương trình tiếp tục cho tới Theo phong cách khác ví như sau: √ √ x3 + 3x2 − 3 3 3x + 5 = 1 − 3x ⇔ (x3 + 3x2 − 4) + 3 x + 1 − 3 3x + 5 = 0 3 (x + 1)3 − 3x − 5 ⇔ (x − 1)(x + 2) + =0 √ 2 2 3 3 (x + 1) + (x + 1) 3x + 5 + (3x + 5) 3(x3 + 3x2 − 4) ⇔ (x − 1)(x + 2)2 + =0 √ 2 2 3 3 (x + 1) + (x + 1) 3x + 5 + (3x + 5)   3  = 0. ⇔ (x − 1)(x + 2)2 1 + √ 2 2 3 3 (x + 1) + (x + 1) 3x + 5 + (3x + 5) ht 2 Biểu thức nhập ngoặc vuông luôn luôn dương với từng x ∈ R nên tớ suy đi ra phương trình tiếp tục cho tới có hai nghiệm là x = 1 và x = −2.

  • 6. Lê Phúc Lữ vn 6 ye nt oa n. Nhận xét. Tại cơ hội loại nhất của câu (b), tự chỉ tìm ra một nghiệm của phương trình là x = 1 nên tiếng giải kéo đến một phương trình không giống tuy nhiên tớ cần người sử dụng bất đẳng thức review để tìm nghiệm sót lại. Trong khi bại, ở cơ hội 2, vì như thế tiếp tục tìm ra cả nhì nghiệm của phương trình đã cho nên rất có thể dữ thế chủ động group những hạng tử nhằm tạo ra nhân tử công cộng là (x − 1)(x + 2), còn lại biểu thức nhập ngoặc tiếp tục luôn luôn dương với từng x cho nên việc giải phương trình coi như xong xuôi. Các bước phân tách để sở hữu được cơ hội group bên trên sẽ tiến hành reviews rõ ràng ở những bài xích sau. Dưới phía trên là cách thông thườn khi giải việc này, bại đó là trả về hệ phương trình đối xứng, một cách giải cần thiết dùng để làm xử lý những bài xích phương trình đem bậc nhì vế là nghịch ngợm hòn đảo của nhau. Cách 3. Phương trình tiếp tục cho tới rất có thể được ghi chép bên dưới dạng √ (x + 1)3 − 2 = 3 3 3x + 5. √ Đặt 3 3x + 5 = nó + 1 thì tớ đem (y + 1)3 = 3x + 5. Từ phía trên và kể từ phương trình phía trên, tớ đem hệ (x + 1)3 = 3y + 5 (y + 1)3 = 3x + 5 Trừ vế theo đòi vế những phương trình, tớ được (x − y) (x + 1)2 + (x + 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 3 = 0 ⇔ x = y (Do biểu thức nhập ngoặc vuông luôn luôn dương với từng x, nó ∈ R). Thay nó = x ngược quay về vào hệ, tớ được phương trình ứng là /o nl u (x + 1)3 = 3x + 5. Giải đi ra và test lại, tớ cũng rất được những nghiệm x = 1 và x = −2. Ví dụ 5. Giải những phương trình sau: √ (a) (x + 3) 2x2 + 1 = x2 + x + 3; √ (b) (x + 3) x2 + 5 = 2x2 + 3x + 1. Lời giải. (a) Dễ thấy x = −3 ko là nghiệm của phương trình nên tớ chỉ việc xét x = −3 là đầy đủ. Khi bại, phương trình tiếp tục cho tới rất có thể được ghi chép lại bên dưới dạng tp :/ √ √ x2 + x + 3 x2 2x2 + 1 = ⇔ 2x2 + 1 − 1 = x+3 x+3  x=0 2x2 x2 2 1 ⇔√ = ⇔ √ = x+3 2x2 + 1 + 1 x+3 2x2 + 1 + 1 ht Từ phía trên tớ suy đi ra x = 0 là một trong những nghiệm của phương trình tiếp tục cho tới. Xét phương trình sót lại, ta thấy phương trình này tương tự với   x −5 √ √ 2 + 1 + 1 = 2x + 6 ⇔ 2 + 1 = 2x + 5 ⇔ 2x 2x 2  2x2 + 1 = 4x2 + 25 + 20x    x −5  x −5 √ 2 √ ⇔ ⇔ 2 √ ⇔ x = −5 + 13.  x2 + 10x + 12 = 0  x = −5 + 13 ∨ x = −5 − 13 √ Vậy phương trình tiếp tục cho tới đem nhì nghiệm là x = 0 và x = −5 + 13.

    • Xem thêm: Top 19 Quán Cafe Đẹp Ở Hà Nội Có View Chụp Hình Sống Ảo | Nguyễn Kim | Nguyễn Kim Blog

  • 7. 7 vn Phương pháp nhân lượng phối hợp giải những việc về phương trình vô tỉ (b) Tương tự động bài xích bên trên, tớ thấy x = −3 ko là nghiệm của phương trình. Xét x = −3, tớ có phương trình tương đương √ 2x2 + 3x + 1 2x2 + 3x + 1 ⇔ x2 + 5 − 3 = −3 x+3 x+3  2 x −4=0 2 2 2(x − 4) x −4 1 2 = ⇔ ⇔√ √ = x+3 x2 + 5 + 3 x+3 x2 + 5 + 3 x2 + 5 = ye nt oa n. √ Nếu x2 − 4 = 0 thì tớ đem x = ±2 và nhì độ quý hiếm này thỏa mãn nhu cầu phương trình tiếp tục cho tới. Còn với x2 − 4 = 0 thì kể từ chuyển đổi bên trên, tớ có √ √ 2 1 √ = ⇔ x + 3 = 2 x 2 + 5 + 6 ⇔ x − 3 = 2 x2 + 5 x+3 x2 + 5 + 3 ⇔ x 3 ⇔ x2 + 9 − 6x = 4(x2 + 5) x 3 3x2 + 6x + 11 = 0 Rõ ràng không tồn tại độ quý hiếm này của x thỏa mãn nhu cầu hệ này. Và như vậy, tớ tiếp cận Tóm lại phương trình tiếp tục cho tới đem nhì nghiệm là x = −2 và x = 2. Ví dụ 6. Giải những phương trình sau: √ √ (a) x − 1 + x + 3 + 2 (x − 1)(x2 − 3x + 5) = 4 − 2x; √ √ x − 1 − x + 3 + 2 (x − 1)(x2 − 3x + 5) = −2x; (c) √ √ x − 1 + x + 3 + 2 (x − 1)(x2 − 3x + 5) = 2x. /o nl u (b) Lời giải. (a) Điều kiện: x 1. Với ĐK này, tớ dễ dàng thấy: √ x + 3 2 và đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = 1. • VT • VP 2 và đẳng thức cũng xẩy ra khi và chỉ khi x = 1. tp :/ Do vậy, nhằm rất có thể xẩy ra tình huống V T = V P.. như tiếp tục nêu ở đề bài xích thì tớ cần đem V T = V P.. = 2, tức x = 1. Vậy phương trình tiếp tục cho tới đem nghiệm độc nhất x = 1. (b) Điều kiện: x 1. Ta nhẩm được x = một là nghiệm của phương trình và điều này khêu cho tới ta nghĩ cho tới việc chuyển đổi phương trình như sau √ x − 1 − x + 3 + 2 (x − 1)(x2 − 3x + 5) = −2x √ √ ⇔ x − 1 + 2 (x − 1)(x2 − 3x + 5) = x + 3 − 2x √ (x − 1)(4x + 3) ⇔ x − 1 + 2 (x − 1)(x2 − 3x + 5) = − √ . x + 3 + 2x √ ht Ta thấy rằng với x 1 thì vế ngược của phương trình bên trên là một trong những đại lượng ko âm, trong khi bại vế cần luôn luôn đem độ quý hiếm 0. Do bại, nhằm rất có thể xẩy ra được lốt đẳng thức như trên thì cả nhì đại lượng này cần đôi khi vị 0, tức là x = 1. Vậy x = một là nghiệm duy nhất của phương trình tiếp tục cho tới.

  • 8. (c) Điều kiện: x vn Lê Phúc Lữ 8 1. Biến thay đổi tương tự động như bên trên, tớ được √ (x − 1)(4x + 3) (x − 1)(x2 − 3x + 5) = √ x + 3 + 2x √ √ √ x − 1(4x + 3) =0 ⇔ x − 1 1 + 2 x2 − 3x + 5 − √ x + 3 + 2x √ x−1=0 √  √ ⇔ x − 1(4x + 3) 2 − 3x + 5 = √ 1+2 x x + 3 + 2x ye nt oa n. x−1+2 Đến phía trên, bằng phương pháp giải phương trình loại nhất, tớ tìm ra một nghiệm là x = 1. Xét tiếp phương trình loại nhì, tớ thấy √ √ 1 + 2 x2 − 3x + 5 = 1 + 2 [x2 + (x − 3)2 + 1] > 1 + 2x2 > 1 + x. √ Mặt không giống, theo đòi bất đẳng thức AM-GM thì x = (x − 1) + 1 2 x − 1. Do vậy, tớ có √ √ x √ · (4x + 3) x − 1(4x + 3) x − 1(4x + 3) 4x + 3 2 √ = < x + 1 < 1 + 2 x2 − 3x + 5. 2x 2x 4 x + 3 + 2x √ √ x−1(4x+3) Điều này chứng minh phương trình 1 + 2 x2 − 3x + 5 = √x+3+2x vô nghiệm. Và như vậy, tớ đi đến Tóm lại x = một là nghiệm độc nhất của phương trình tiếp tục cho tới. /o nl u Ví dụ 7. Giải những phương trình sau: √ √ (a) 3 2 + x − 2 = 2x + x + 6; √ √ (b) 3x + 1 − 6 − x + 3x2 − 14x − 8 = 0. Lời giải. (a) Điều kiện: x 2(x − 3) + (Đề đua Học viện Kỹ thuật Quân sự, 2000) (Đề đua Đại học tập khối B, 2010) 2. Ta đem phương trình tiếp tục cho tới tương tự với √ √ (x + 6) − 9(x − 2) √ x + 6 − 3 x − 2 = 0 ⇔ 2(x − 3) + √ =0 x+6+3 x−2 x=3 √ √ x+6+3 x−2=4 tp :/ 4 √ ⇔ (x − 3) 1 − √ =0⇔ x+6+3 x−2 Xét phương trình √ √ x + 6 + 3 x − 2 = 4. Bình phương nhì vế nhằm khử căn, tớ được 10x − 12 + 6 (x + 6)(x − 2) = 16 ⇔ 3 (x + 6)(x − 2) = 14 − 5x    2 x 14  2 x 14 ⇔ ⇔ 5 5  9(x + 6)(x − 2) = (14 − 5x)2  x2 − 11x + 19 = 0 14 √ 11 − 3 5 5√ √ ⇔x= ⇔ .  11 − 3 5 11 + 3 5 2 x = ∨x= 2 2 ht  2  x Vậy tập luyện nghiệm của phương trình tiếp tục nghĩ rằng T = √ 11−3 5 , 2 3 .

  • 9. (b) Điều kiện: − 1 3 x 6. Phương trình tiếp tục cho tới tương tự với √ √ 3x + 1 − 4 − 6 − x − 1 + 3x2 − 14x − 5 = 0 ye nt oa n. 3(x − 5) x−5 ⇔√ + (3x + 1)(x − 5) = 0 +√ 6−x+1 3x + 1 + 4  x=5 3 1 ⇔ √ + 3x + 1 = 0 +√ 6−x+1 3x + 1 + 4 Dễ thấy √ 1 3 + 3x + 1 > 0, +√ 6−x+1 3x + 1 + 4 9 vn Phương pháp nhân lượng phối hợp giải những việc về phương trình vô tỉ 1 ∀x ∈ − , 6 3 nên tình huống loại nhì ko thể xẩy ra. Từ phía trên tớ suy đi ra phương trình tiếp tục cho tới chỉ mất một nghiệm độc nhất là x = 5. Ví dụ 8. Giải những phương trình và bất phương trình sau: √ √ √ √ 3 (a) 3 2x + 2 + 3 2x + 1 = 2x2 + 3 2x2 + 1; √ √ (b) 3 − x + 2 + x = x3 + x2 − 4x − 4 + |x| + |x − 1|; (c) 2 x2 + x + 1 + x2 − 4 x+4 √ 2 x2 + 1 . /o nl u √ √ Lời giải. (a) Ta thấy rằng ở nhì vế đều phải sở hữu dạng hàm số f (t) = 3 t + 3 t + 1 nên rất có thể dùng tính đơn điệu của hàm số nhằm giải đơn giản. Tại phía trên, tớ người sử dụng cách thức nhân phối hợp nhằm làm xuất hiện nay nhân tử công cộng ở nhì vế. Trước không còn, tớ ghi chép lại phương trình bên dưới dạng √ √ √ √ 3 3 2x2 + 1 − 3 2x + 2 + 2x2 − 3 2x + 1 = 0. Bằng cơ hội nhân những lượng phối hợp ứng, tớ có √ 3 2x2 + 1 − √ 3 2x2 − 2x − 1 2x + 2 = 3 √ 3 tp :/ và (2x2 + 1)2 + 2x2 − √ 3 (2x2 )2 + (2x2 + 1)(2x + 2) + 3 (2x + 2)2 2x2 − 2x − 1 2x + 1 = 3 3 = 3 2x2 (2x + 1) + = 3 (2x + 1)2 Do bại, phương trình tiếp tục cho tới tương tự với (2x2 − 2x − 1) 1 1 + A B = 0. ht Tuy nhiên, tự A, B > 0 nên kể từ phía trên tớ có √ √ 1− 3 1+ 3 2x2 − 2x − 1 = 0 ⇔ x = ∨x= . 2 2 Vậy phương trình tiếp tục cho tới đem nhì nghiệm là x = √ 1− 3 2 và x = √ 1+ 3 . 2 2x2 − 2x − 1 A 2x2 − 2x − 1 . B

  • 10. Lê Phúc Lữ (b) Điều kiện: −2 vn 10 x 3. Phương trình tiếp tục cho tới tương tự với √ √ 3 − x − |x − 1| + 2 + x − |x| = x3 + x2 − 4x − 4 −x2 + x + 2 −x2 + x + 2 = (x + 2)(x + 1)(x − 2) +√ 3 − x + |x − 1| 2 + x + |x| (2 − x)(x + 1) (2 − x)(x + 1) ⇔√ + √ + (x + 2)(x + 1)(2 − x) = 0 3 − x + |x − 1| 2 + x + |x| ⇔ (2 − x)(x + 1) √ Do √ 1 3−x+|x−1| + √ 1 2+x+|x| ye nt oa n. ⇔√ 1 1 + (x + 2) = 0. +√ 3 − x + |x − 1| 2 + x + |x| + (x + 2) > 0, ∀x ∈ [−2, 3] nên kể từ bên trên, tớ có (2 − x)(x + 1) = 0 ⇔ x = −1 ∨ x = 2. Vậy phương trình tiếp tục cho tới đem nhì nghiệm là x = −1 và x = 2. (c) Điều kiện: x > −4. Bất phương trình tiếp tục cho tới tương tự với 2 x2 + x + 1 −1 x+4 x2 +x+1 x+4 ⇔2· x2 +x+1 x+4 2 +x −3 +1 /o nl u ⇔ −1 + x2 − 3 2 (x2 − 3) (x + 4)(x2 + x + 1) + x + 4 + (x2 − 3) + 2 √ −1 x2 + 1 4 −1 x2 +1 √ 2 +1 x2 +1 2+ √ x2 − 3 √ x2 + 1 x2 + 1 0. 1 √ + 1 x2 + 1 0. Và như vậy, tớ thu được (x2 − 3) 2 (x + 4)(x2 + x + 1) + x + 4 +1+ 2+ √ x2 tp :/ Dễ thấy biểu thức nhập lốt ngoặc loại nhì luôn luôn dương với từng x > −4, vì thế tớ rất có thể viết lại bất phương trình bên trên thành √ √ x2 − 3 0 ⇔ − 3 x 3. √ √ Kết phù hợp với ĐK xác lập x > −4, tớ chiếm được T = − 3, 3 là tập luyện nghiệm của bất phương trình tiếp tục cho tới. ht Nhận xét. Với câu (b) của ví dụ này, tớ thấy đem xuất hiện nay thêm thắt những nhiều thức chứa chấp lốt trị tuyệt đối là |x − 1|, |x|. Những tưởng điều này sẽ gây ra trở ngại rộng lớn trong các việc giải quyết và xử lý, vì phương trình chứa chấp lốt trị vô cùng thì thông thường khó khăn phân tách trở thành nhân tử. Nhưng nhờ việc sử dụng cách thức nhân lượng phối hợp, việc này và được giải nhanh gọn lẹ và khá nhẹ nhàng. Khi ấy, tớ chỉ việc trả những lượng ấy về đích địa điểm và dùng cách thức nhân lượng phối hợp là đầy đủ. Cách tiếp cận vị nhân lượng phối hợp được cho phép tớ dám chuyển đổi những biểu thức một cơ hội tự do rộng lớn, tự do rộng lớn, không trở nên bó buộc nhiều vượt lên trước ở việc lựa lựa chọn biểu thức thiệt tương thích hay đánh giá chỉ như trong những cách thứ hai.