Công thức nguyên hàm lnx và cách giải các dạng bài tập

Nguyên hàm In x là dạng bài bác tập luyện khiến cho nhiều học viên bị rơi rụng điểm. Vì vậy nhằm ăn trọn vẹn điểm bài bác tập luyện phần này những em cần thiết cầm Chắn chắn toàn cỗ công thức na ná rèn luyện thiệt nhiều loại bài bác tập luyện. Hãy xem thêm tức thì nội dung bài viết tiếp sau đây nhằm vẫn tồn tại điểm phần này nhé!

1. Khái niệm vẹn toàn hàm lnx

Ta sở hữu hàm số $f(x)$ xác lập bên trên K. Hàm số $f(x)$ đó là vẹn toàn hàm của hàm số $f(x)$ bên trên K nếu như $f'(x)=f(x)$ với $x\in K$. Nguyên hàm của $lnx$ sẽ tiến hành tính như sau:

Bạn đang xem: Công thức nguyên hàm lnx và cách giải các dạng bài tập

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=lnx\\dv=dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
du=\frac{1}{x}dx\\v=x \end{matrix}\right.$

Ta có $\int lnxdx=xlnx-\int dx'=xlnx-x+C$

2. Bảng công thức vẹn toàn hàm của ln(x)

Ta sở hữu bảng công thức nguyên hàm In x và một vài vẹn toàn hàm cơ phiên bản thông thường gặp gỡ.

Bảng vẹn toàn hàm Inx và một vài vẹn toàn hàm cơ bản

3. Cách tính vẹn toàn hàm lnx

3.1. Nguyên hàm ln(x+1)

Ví dụ 1: Với $\int_{1}^{2}ln(x+1)dx=aln3+bln2+c$, vô ê a, b, c là những số vẹn toàn. Tính S=a+b=c.

Giải:

Đặt  $\left\{\begin{matrix}u=ln(x+1)\\dv=dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
du=\frac{1}{x+1}dx\\v=x+1 \end{matrix}\right.$

Lúc này tớ có:

$\int_{1}^{2}ln(x+1)dx= (x+1)ln(x+1)\left|\begin{matrix}
2\\1 \end{matrix}\right.-\int_{1}^{2}dx=3ln3-2ln2-1$

Như vậy: a=3; b=-2; c=-1

$\Rightarrow$ S=a+b+c=0

Ví dụ 2: Tìm vẹn toàn hàm của hàm số sau: $B=x^2Inxdx$

Giải: 

B=$\int x^{2}lnxdx=\int lnxd(\frac{x^{3}}{3})$

=$\frac{x^{3}}{3}lnx-\int \frac{x^{3}}{3}.d(lnx)$

=$\frac{x^{3}}{3}lnx-\int \frac{x^{3}}{3}.\frac{dx}{3}=\frac{x^{3}}{3}lnx-\frac{x^{3}}{9}+C$

Nắm trọn vẹn kiến thức và kỹ năng về vẹn toàn hàm và những kiến thức và kỹ năng Toán thi đua trung học phổ thông Quốc Gia không giống với cỗ bí quyết độc quyền của VUIHOC ngay!

3.2. Nguyên hàm 1+ln/x

Ví dụ 1:

Tìm vẹn toàn hàm J=$\int \frac{(lnx+1)lnx}{(lnx+1+x)}dx$

Giải:

Ta có: J=$\int \frac{lnx+1}{x(\frac{lnx+1}{x}+1)}^{3}.\frac{lnx}{x^{2}}dx$

Đặt t=$\frac{lnx+1}{x}\Rightarrow dt=\frac{lnx}{x^{2}}dx \Rightarrow J=\int \frac{tdt}{(t+1)^{3}}=\int [\frac{1}{(t+1)^{3}}-\frac{1}{(t+1)^{2}}]dt$

=$-\frac{1}{2(t+1)^{2}}+\frac{1}{t+1}+C$

=$-\frac{x^{2}}{2(lnx+1+x^{2})}+\frac{x}{lnx+x+1}+C$

Ví dụ 2: Tìm vẹn toàn hàm của:

a) ∫x.2x dx

b) ∫(x2-1) ex dx

Giải:

a) Đặt $\left\{\begin{matrix}u=x\\dv=2^{x}dx\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
du=dx\\v=\frac{2^{x}}{ln2}. \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$

Ta có: $\int x2^{x}dx=\frac{x.2^{x}}{ln2}-\int \frac{2^{x}}{ln2}dx=\frac{x.2^{x}}{ln2}-\frac{2^{x}}{ln^{2}2}+C$

b) Đặt $\left\{\begin{matrix}u=x^{2}-1\\dv=e^{x}dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=2xdx\\v=e^{x}dx \end{matrix}\right.$

Suy rời khỏi tớ có $\int f(x)dx=(x2-1)ex-\int 2x.ex$ dx

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=2x\\dv=e^{x}dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=2dx\\v=e^{x}dx \end{matrix}\right.$

Ví dụ 3: Tìm toàn bộ những vẹn toàn hàm của hàm số $f(x)=(3x^{2}+1).lnx$

A. $\int f(x)dx=x(x^{2}+1)lnx-\frac{x^{3}}{3}+C$

B. $\int f(x)dx=x^{3}lnx-\frac{x^{3}}{3}+C$

C. $\int f(x)dx=x(x^{2}+1lnx-\frac{x^{3}}{3}-x+C$

D. $\int f(x)dx=x^{3}lnx-\frac{x^{3}}{3}-x+C$

Giải:

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=lnx\\dv=(3x^{2}+1)dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=\frac{1}{x}dx\\v=\int (3x^{2}+1)dx=x^{3}+x \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow I=(x^{3}+x)lnx-\int (x^{3}+x)\frac{1}{x}dx=x(x^{2}+1)lnx-\int (x^{2}+1)dx=x(x^{2}+1lnx-\frac{x^{3}}{3}-x+C.$

=> Đáp án C.

3.3. Nguyên hàm của ln(ax+b)

Ví dụ 1:

Bất phương trình $In(2x^2+3)>In(x^2+ax+1)$ nghiệm đích với từng số thực khi?

Giải:

Giải vấn đề vẹn toàn hàm của ln(ax+b)

Ví dụ 2: Tính vẹn toàn hàm:

a) $\int 2xln(x-1)dx$

b) $\int \frac{ln(x+1)}{x^{2}}$

Giải:

a) Đặt $\left\{\begin{matrix}u=ln(x-1)\\dv=2xdx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=\frac{1}{x-1}dx\\v=x^{2}-1 \end{matrix}\right.$

Ta có $\int 2xln(x-1)dx$

=$(x^{2}-1)ln(x-1)-\int (x+1)dx$

=$(x^{2}-1)ln(x-1)-\int (x+1)dx$

=$(x^{2}-1)ln(x-1)-\frac{x^{2}}{2}-x+C$

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=ln(1+x)\\dv=\frac{1}{x^{2}}dt\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
du=\frac{1}{(1+x)}dx\\v=-\frac{1}{x}-1=-\frac{1+x}{x} \end{matrix}\right.$

=> $F(x)=-\frac{1+x}{x}.ln(1+x)+\int \frac{1}{x}dx$

= $-\frac{1+x}{x}ln(1+x)+ln|x|+C$

3.4. Nguyên hàm của ln(x^2+1)dx

Ví dụ 1:

Tìm vẹn toàn hàm I=$xIn(x^2+1)x2+1dx$

Giải:

Tính vẹn toàn hàm của ln(x^2+1)dx

Ví dụ 2:

Cho $\int_{1}^{2}\frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx=aln2+bln3$, với a và b là những số hữu tỉ. Tính P=ab

A. P=$\frac{3}{2}$

B. P=0

C. P=$\frac{-9}{2}$

D. P=-3

Giải:

Ta sở hữu I=$\int_{1}^{2}\frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx=aln2+bln3$

Xem thêm: MFG date là gì? Vì sao cần đặc biệt chú ý đến MFG date và EXP date của mỹ phẩm?

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=ln(1+x)\\dv=\frac{1}{x^{2}}dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=\frac{1}{1+x}dx\\v=-\frac{1}{x} \end{matrix}\right.$

Khi ê I=$-\frac{1}{x}ln(1+x)\left|\begin{matrix}
2\\1 \end{matrix}\right.+\int_{1}^{2}\frac{1}{x(1+x)}dx=-\frac{1}{2}ln3+ln2+\int_{1}^{2}(\frac{1}{x}-\frac{1}{1+x})dx$

=$-\frac{1}{2}ln3+ln2+(ln\frac{x}{x+1})\left|\begin{matrix}2\\1 \end{matrix}\right.=-\frac{1}{2}ln3+ln2+2ln2-ln3=3ln2-\frac{3}{2}ln3$

Suy rời khỏi a=3, b=$-\frac{3}{2}$. Vậy P=$ab=\frac{-9}{2}$

Chọn đáp án C.

PAS VUIHOCGIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA

Khóa học tập online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:  

⭐ Xây dựng suốt thời gian học tập kể từ rơi rụng gốc cho tới 27+  

⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học tập bám theo sở thích  

⭐ Tương tác thẳng hai phía nằm trong thầy cô  

⭐ Học đến lớp lại cho tới lúc nào hiểu bài bác thì thôi

⭐ Rèn tips tricks gom bức tốc thời hạn thực hiện đề

⭐ Tặng full cỗ tư liệu độc quyền vô quy trình học tập tập

Đăng ký học tập demo không tính phí ngay!!

3.5. Nguyên hàm của hàm số f(x)=ln/x

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x)=1x+In(x)x

Giải:

Ta có: 

y’= $-\frac{1}{x^{2}}+\frac{ln(x)'x-ln(x)'x}{x^{2}}$

=$-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1+ln(x)}{x^{2}}=-\frac{ln(x)}{x^{2}}$

Ví dụ 2:

Giả sử tích phân I=$\int_{1}^{5}\frac{1}{1+\sqrt{3x+1}}dx$=a+bln3+cln5. 

Lúc đó:

A. $a+b+c=\frac{5}{3}$

B. $a+b+c=\frac{4}{3}$

C. $a+b+c=\frac{7}{3}$

D. $a+b+c=\frac{8}{3}$

Giải:

Đặt t = $\sqrt{3x+1}\Rightarrow dx=\frac{2}{3}tdt$

Đổi cận

Ta sở hữu I=$\int_{1}^{5}\frac{1}{1+\sqrt{3x+1}}dx=\int_{1}^{4}\frac{1}{1+t}.\frac{2}{3}tdt=\frac{2}{3}\int_{2}^{4}\frac{t}{t+1}dt=\frac{2}{3}\int_{2}^{4}(1-\frac{1}{t+1})dt=\frac{2}{3}(t-ln|1+t|)\left|\begin{matrix}4\\2 \end{matrix}\right.=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}ln3-\frac{2}{3}ln5$

Do đó $a=\frac{4}{3};b=\frac{2}{3};c=-\frac{2}{3}$

Vậy $a+b+c=\frac{4}{3}$

=> Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Biết tích phân $\int_{0}^{ln6}\frac{e^{x}}{1+\sqrt{e^{x}+3}}dx=a+bln2+cln2$, với a, b, c là những số vẹn toàn. Tính T=a+b+c

A. T=-1

B. T=0

C. T=2

D.T=1

Giải:

Đặt t=$\sqrt{e^{x}+3}\Rightarrow t^{2}=e^{x}+3\Rightarrow 2tdt=e^{x}dx$

Đổi cận $\left\{\begin{matrix}x=ln6\\x=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
t=3\\t=2 \end{matrix}\right.$

Suy ra $\int_{0}^{ln6}\frac{e^{x}}{1+\sqrt{e^{x}+3}}dx=\int_{2}^{3}\frac{2tdt}{1+t}dt=(2t-2ln|t+1|)\left|\begin{matrix}3\\2 \end{matrix}\right.$

=$(6-2ln4)-(4-2ln3)=2-4ln2+2ln3 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}a=2\\b=-4\\c=2 \end{matrix}\right.$

Vậy T=0

=> Chọn đáp án B

3.6. Tính vẹn toàn hàm của ln(lnx)/x

Tính vẹn toàn hàm $I=\int \frac{ln(lnx)}{x}dx$ được thành phẩm này sau đây?

Ví dụ 1: Tính vẹn toàn hàm của hàm số  I=$\int \frac{ln(lnx)}{x}dx$

Giải:

Đặt lnx=t => dt = $\frac{dx}{x}$

Suy rời khỏi I=$\int \frac{ln(lnx)}{x}dx=\int lntdt$

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=lnt\\dv=dt \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=\frac{dt}{t}\\v=t \end{matrix}\right.$

Theo công thức tính vẹn toàn hàm từng phần tớ có:

I=$tlnt-\int dt=tlnt-t+C=lnx.ln(lnx)-lnx+C$

Ví dụ 2:

Cho I=$\int_{1}^{e}\frac{lnx}{x(lnx+2)^{2}}dx=aln3+bln2+\frac{c}{3}$ với a, b, c $\in Z$. Khẳng toan này tại đây đích.

A. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

B. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=11$

C. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=9$

D. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Giải:

Ta sở hữu I=$\int_{1}^{e}\frac{lnx}{x(lnx+2)^{2}}dx, bịa đặt lnx+2=t => \frac{dx}{x}=dt$

I=$\int_{2}^{3}\frac{t-2}{t^{2}}dt=\int_{2}^{3}\frac{1}{t}dt-2\int_{2}^{3}\frac{1}{t^{2}}dt$

=$lnt\left|\begin{matrix}3\\2 \end{matrix}\right.+\frac{2}{t}\left|\begin{matrix}3\\2 \end{matrix}\right.$

=$ln3-ln2+\frac{2}{3}-\frac{2}{2}=ln3-ln2-\frac{1}{3}$

Suy rời khỏi a=1;b=-1;c=-1

Vậy $a^{2}+b^{2}+c^{3}=3$

Bên cạnh ê, thầy Trường Giang đã sở hữu bài bác giảng đặc biệt hoặc về vẹn toàn hàm tích phân với mọi tip giải bài bác tập luyện đặc biệt hữu ích nhằm giải đề thi đua trung học phổ thông Quốc gia. Các em nằm trong coi vô đoạn phim tiếp sau đây nhé!

Nắm trọn vẹn bí quyết đạt 9+ thi đua Toán chất lượng tốt nghiệp trung học phổ thông Quốc Gia ngay

Xem thêm: Shadow work: Đi trong đêm đen để tìm thấy chính mình

Sau nội dung bài viết này, kỳ vọng những em tiếp tục cầm Chắn chắn được toàn cỗ lý thuyết, công thức về vẹn toàn hàm Inx, kể từ ê áp dụng hiệu suất cao vô bài bác tập luyện. Để được thêm nhiều kiến thức và kỹ năng hoặc em rất có thể truy vấn tức thì Vuihoc.vn nhằm ĐK thông tin tài khoản hoặc tương tác trung tâm tương hỗ để sở hữu được kiến thức và kỹ năng cực tốt sẵn sàng cho tới kỳ thi đua ĐH tới đây nhé!

>> Xem thêm:

  • Phương pháp tính tích phân từng phần và ví dụ minh họa
  • Đầy đầy đủ và cụ thể bài bác tập luyện phương trình logarit sở hữu điều giải
  • Tuyển tập luyện lý thuyết phương trình logarit cơ bản